崔岩的笔记——粒子滤波原理及应用（1）概率论与数理统计基础

条件概率

一些概率的概念

①先验概率：可以理解为我们在这个事件发生之前，估计事件发生生的概率，如：掷硬币正面向上的概率为0.5，反面向上的概率为0.5。

②条件概率：在已知某种条件的情况下，事件发生的概率，如：已知我们的硬币两面都是正面，那么我们掷硬币正面朝上的概率为1，反面朝上为0。

③后验概率：后验概率属于条件概率，但从逻辑上同先验概率相区分，后验概率可以理解为事情已经发生，求这件事情是由某个因素导致的可能性的大小。如：已知两次掷硬币都是正面（事情已经发生），那么第二次掷硬币是正面的概率为1，反面为0（导致事件的因素的概率）。

全概率公式

如果事件构成一个完备事件组，即它们两两互不相容，其和为全集，则对于任意事件A有：

贝叶斯公式

通过贝叶斯公式，我们可以将后验概率通过条件概率和先验概率表示，达到由结果推导事件起因的目的。

数字特征

数学期望

离散型分布：

连续型分布：

方差

标准差：

协方差

协方差矩阵：

其中：

矩

X的k阶矩：

X的k阶中心距：

X和Y的k+l混合矩：

X和Y的k+l混合中心距：

概率密度函数

均匀分布

X在区间（a，b）上服从均匀分布，数学表示：

概率密度函数：

分布函数：

数字特征：

指数分布

X服从参数为的指数分布，数学表示：，其中为常数。

在部分教材中也会写为X服从参数为的指数分布：数学表示为：，其中。

概率密度函数：

分布函数：

数学特征：

高斯分布（正态分布）

X服从均值为方差为的高斯分布，数学表示：。

概率密度函数：

分布函数：

数学特征：

伽马分布

X服从形状参数为尺度参数为的伽马分布，数学表示：。

概率密度函数：

其中，当为整数时：

当为任意复数时：

伽马函数具有几个特例：

数字特征：

频率与概率

当样本数足够多的时候，我们可以将事件A发生的频率近似的认为是事件A发生的概率，即：

代表事件A在总计n次实验中发生的次数，为事件A发生的频率，当n趋近于无穷时，事件A发生的频率就等于事件A发生的概率p(A)

伯努利大数定律

当实验次数趋于无穷时，事件A发生的频率依概率收敛于事件A发生的概率。

辛钦大数定律

独立同分布

对于无穷多个独立同分布实验，实验结果的平均值依概率收敛于分布X的数学期望，即：

中心极限定律

独立同分布, , 。

在上式中x代表概率函数中的参数，而X_i代表事件，切记不要混淆。