算法训练营day45|动态规划 part07：完全背包 (LeetCode 70. 爬楼梯(进阶)、322. 零钱兑换、279.完全平方数)
文章目录
- 70. 爬楼梯(进阶)(求排列方法数)
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- 思路分析
- 代码实现
- 322. 零钱兑换(求等于背包重量的最小物品数)
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- 思路分析
- 代码实现
- 思考总结
- 279.完全平方数 (求等于背包重量的最小物品数)
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- 思路分析
- 代码实现
70. 爬楼梯(进阶)(求排列方法数)
题目链接
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。
示例 1： 输入： 2 输出： 2 解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1 阶 + 1 阶
2 阶
示例 2： 输入： 3 输出： 3 解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1 阶 + 1 阶 + 1 阶
1 阶 + 2 阶
2 阶 + 1 阶
思路分析
之前讲这道题目的时候，因为还没有讲背包问题，所以就只是讲了一下爬楼梯最直接的动规方法（斐波那契）。这次再用背包做一遍。
这就是一个完全背包的排列问题。
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。
- 确定递推公式
求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];
本题呢，dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]
那么递推公式为：dp[i] += dp[i - j]
- dp数组如何初始化
既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j]，那么dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在，如果dp[0]是0的话，其他数值都是0了。
下标非0的dp[i]初始化为0，因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的，dp[i]本身为0这样才不会影响结果
- 确定遍历顺序
这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！
所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。
每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。
- 举例来推导dp数组
代码实现
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
vector<int> dp(n + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历背包
for (int j = 1; j <= m; j++) { // 遍历物品
if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];
}
}
return dp[n];
}
};
代码中m表示最多可以爬m个台阶，代码中把m改成2就是本题可以AC的代码了。
322. 零钱兑换(求等于背包重量的最小物品数)
题目链接
给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
示例 1：
输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1
示例 2：
输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1
示例 3：
输入：coins = [1], amount = 0
输出：0
示例 4：
输入：coins = [1], amount = 1
输出：1
示例 5：
输入：coins = [1], amount = 2
输出：2
提示：
1 <= coins.length <= 12
1 <= coins[i] <= 2^31 - 1
0 <= amount <= 10^4
思路分析
动规五部曲分析如下：
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]
- 确定递推公式
凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）
所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。
递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
- dp数组如何初始化
首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;
其他下标对应的数值呢？
考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。
所以下标非0的元素都是应该是最大值。
- 确定遍历顺序
本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。
所以本题并不强调集合是组合还是排列。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
所以本题的两个for循环的关系是：外层for循环遍历物品，内层for遍历背包或者外层for遍历背包，内层for循环遍历物品都是可以的！
- 举例推导dp数组
以输入：coins = [1, 2, 5], amount = 5为例
代码实现
class Solution {
public:
int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
vector<int> dp(amount+1,INT_MAX-1);
dp[0]=0;
for(int i=0;i<coins.size();i++){
for(int j=coins[i];j<=amount;j++){
dp[j]=min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1);
}
}
if(dp[amount]!=INT_MAX-1) return dp[amount];
else return -1;
}
};
思考总结
本题是要求最少硬币数量，硬币是组合数还是排列数都无所谓！所以两个for循环先后顺序怎样都可以！
279.完全平方数 (求等于背包重量的最小物品数)
题目链接
给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, …）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。
给你一个整数 n ，返回和为 n 的完全平方数的 最少数量 。
完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。
示例 1：
输入：n = 12
输出：3
解释：12 = 4 + 4 + 4
示例 2：
输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9
提示：
1 <= n <= 10^4
思路分析
完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑个正整数n就是背包，问凑满这个背包最少有多少物品？
跟上道题其实一模一样，直接看代码吧
代码实现
class Solution {
public:
int numSquares(int n) {
vector<int> dp(n+1,INT_MAX);
dp[0]=0;
for(int i=1;i*i<=n;i++){
for(int j=i*i;j<=n;j++){
dp[j]=min(dp[j],dp[j-i*i]+1);
}
}
return dp[n];
}
};
这里dp初始化成INT_MAX而不用担心dp[j-i*i]+1越界，因为物品里面有1，不管背包容量是多少，一定可以凑成。