（10/300）二阶线性微分方程的解的性质和结构（二）

先占个坑，明天来填。。。。明天能有时间吗？？？？但是我把写博客这个事情必须坚持下去，等闲下来的时候一定要留几篇存稿。
+++++++++++++++++++2020年3月20日08点27分+++++++++++++++++++

一.定理：

首先要认识到二阶线性齐次微分方程的解满足的性质，值得注意的是这不仅仅是待会儿要提到的二阶线性常系数齐次微分方程满足，对于一般的二阶线性齐次微分方程也是满足的。
1.叠加原理：有限个方程的解的线性组合仍然是方程的解。
这个原理是由于方程的线性的性质所以决定的，如果有线性代数的基础，那么对于这个性质就很好理解了，就算没有，也应该很好理解。L(y1)=0,L(y2)=0,（至于L是什么意思的话，那么请参见（9/300）对于线性微分算子的描述），由于线性(也就是说y是一次的)，L(y1)+L(y2)=L(D)y1+L(D)y2=L(D)(y1+y2)=L(y1+y2)=0,所以y1+y2也是方程的解，在推广到有限个解就ok了。

2.方程的通解:如果y1，y2是方程线性无关的两个特解的话，y1和y2的线性组合的全体就是方程的通解。
对于这句话的理解，首先要明白什么是通解，通解，首先它是方程的解，但是这个解它拥有和方程阶数相等的不定的常数，比如C₁y₁+C₂y₂，如果y₁和y₂线性无关的话，那么这样的一个组合构成的一个空间就是方程的通解了。其实这个也很好理解，如果y₁和y₂线性相关的话，那么他们的线性组合一定能够用Cy₁来表示，这就和方程的阶数二不相等了，既然不相等，那就不能算是通解。

3.复值根：当P（x）和Q（x）都是实值函数，对于复值根而言，他的实部、虚部、共轭都是方程的根，（一带三，斗地主的充值玩家都不敢这么玩）。对于这个定理的话，emmmm，作为一个工科学生，，，，，emmm，不会。（希望能在评论区看到通俗易懂的理解，/龇牙）

二.二阶常系数线性微分方程的通解：

首先来观察方程的形式：y"+py’+qy=0，由前面的第二条定理可知，方程的通解的形式一定是C₁y₁+C₂y₂，将这个通解代入原方程的话，我们会发现它和它的一阶导、它的二阶导都相差常数倍，这不让人联想到e^rx,它正好满足这个条件，那么我们就只需要就求得y₁=e^r1x和y₂=e^r2x即可，然后我们发现代入原方程的形式是(r²+pr+q)e^rx=0,这正好可以消去e^rx，得到特征方程r²+pr+q=0,而对于这个方程的解的话，就会有三种情况两个异值实根、两个同值实根、一对共轭复值根，分别对应于一元二次方程的根的判别式＞、=、＜0的情况。
下面来看看实根的两种情况，复值根的情况会在后面的欧拉方程那一节再提到的。

r1≠r2:C₁e^r1x+C₂e^r2x

这个其实就很好理解了，e^r1x、e^r2x分别是两个特解，根据解的性质写出来就好了。

r1=r2:(C₁+C₂x)e^r1x

至于这个我就把推导过程写一下。

有两行求导求错了，请忽视。这里其实就是用了一个常数变易法，对于一个线性方程，右端为0，在等式的左右边同时乘以一个因式，等式仍然成立。