【高等数学】张量积、楔积、叉积和外积的区别

5.20

#18 张量积、楔积、叉积和外积的区别

以上三者都可以称之为“外积（outer product）”，但是其实三者是有区别的，所以我最近在学习微积分的时候，时常被误导，今天查阅了一些资料，简单记录一下。

* 是指矩阵的乘法

1. 张量积（tensor product）：输入是两个向量，输出是一个矩阵，记为“$\otimes$”，更多被称为“张量积”。比如两个列向量u，v，$u\otimes v=u\ast v^T$

2. 楔积（exterior product）：输入是两个向量，输出是一个另外一个维度的向量（涉及到外代数的知识，一种更高层次的抽象），记为“$\wedge$”。

   比如$u=ai,v=bj,u\wedge v=abi\wedge j,i\wedge j$是一种到另一个维度的映射，在三维欧式空间里面，可以将其映射到z轴，这就是其实就是下面要说的叉积。

3. 叉积（cross product）:输入是两个向量，输出是一个向量，记为“$\times$”。比如两个向量$$\mathbf{u}=u_1\mathbf{i}+u_2\mathbf{j}+u_3\mathbf{k}，\mathbf{v}=v_1\mathbf{i}+v_2\mathbf{j}+v_3\mathbf{k}$$

   其实叉积其实就是一种外积，只不过外积一种“更一般”的表示方法。

$$\mathbf{u}\times \mathbf{v}=(u_2{v}_3-u_3{v}_2)\mathbf{i}+(u_3{v}_1-u_1{v}_3)\mathbf{j}+(u_1{v}_2-u_2{v}_1)\mathbf{k}$$

4. 向量积：在中文语境当中，向量积就是指叉积。它是相对数量积而言的概念，数量积其实就是一种内积。