【高等数学】张量积、楔积、叉积和外积的区别

5.20

#18 张量积、楔积、叉积和外积的区别

以上三者都可以称之为“外积(outer product)”,但是其实三者是有区别的,所以我最近在学习微积分的时候,时常被误导,今天查阅了一些资料,简单记录一下。

* 是指矩阵的乘法

  1. 张量积(tensor product):输入是两个向量,输出是一个矩阵,记为“ ⊗ \otimes ”,更多被称为“张量积”。比如两个列向量u,v, u ⊗ v = u ∗ v T u \otimes v = u * v^T uv=uvT

  2. 楔积(exterior product):输入是两个向量,输出是一个另外一个维度的向量(涉及到外代数的知识,一种更高层次的抽象),记为“ ∧ \wedge ”。

    比如 u = a i ⃗ , v = b j ⃗ , u ∧ v = a b i ⃗ ∧ j ⃗ , i ⃗ ∧ j ⃗ u = a\vec i, v = b \vec j, u \wedge v = ab \quad \vec i \wedge \vec j , \vec i \wedge \vec j u=ai ,v=bj ,uv=abi j ,i j 是一种到另一个维度的映射,在三维欧式空间里面,可以将其映射到z轴,这就是其实就是下面要说的叉积。

  3. 叉积(cross product):输入是两个向量,输出是一个向量,记为“ × \times ×”。比如两个向量 u = u 1 i + u 2 j + u 3 k , v = v 1 i + v 2 j + v 3 k \mathbf {u} = u_{1}\mathbf {i} +u_{2}\mathbf {j} +u_{3}\mathbf {k},\mathbf {v} = v_{1}\mathbf {i} +v_{2}\mathbf {j} +v_{3}\mathbf {k} u=u1i+u2j+u3kv=v1i+v2j+v3k

    其实叉积其实就是一种外积,只不过外积一种“更一般”的表示方法。

u × v = ( u 2 v 3 − u 3 v 2 ) i + ( u 3 v 1 − u 1 v 3 ) j + ( u 1 v 2 − u 2 v 1 ) k \mathbf {u} \times \mathbf {v} =(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})\mathbf {i} +(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})\mathbf {j} +(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})\mathbf {k} u×v=(u2v3u3v2)i+(u3v1u1v3)j+(u1v2u2v1)k

  1. 向量积:在中文语境当中,向量积就是指叉积。它是相对数量积而言的概念,数量积其实就是一种内积。

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