这种情况下，数学题的答案不唯一

生活中比较常用的概率问题是古典概型，就是所谓的事情发生的概率，最早是用来测量频度。比如掷一百次硬币，有多少次是正面，然后根据次数除以总的量，可以得到大致的概率。

基于这个现象，会衍生出更多的东西，比如独立事件，A和B两个事件发生可能是相对独立的，比如已经掷了十次正面，下一次掷出正面的概率是多少，第十一次的动作和前十次其实是完全独立的。

还有一种是不完全独立的，比如一个人前30岁没有生大病，那么他接下来生病的概率就不会是所有人均等的生病的概率，也就是后一件事情的概率和前一件事情的概率是有一定关联的，描述这种关联比较常见的是条件概率。

主要介绍几何概型上的贝特朗悖论。

什么叫几何概型？

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积或度数)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。

比如我们在一个圆的面积上选一个点，那么在这个圆里面任何一个点，他被选中的概率都是零，因为点有无穷多个。虽然选择这个点的概率是零，但其实也是会发生的。

贝特朗悖论

贝特朗悖论内容如下：在一个圆里面随机地取一条弦，这条弦的长度大于圆内接等边三角形一条边的概率是多少？

这个问题有三种解决方法，而且算出来的概率都不一样。

1．上图中第一幅图，在垂直于三角形任意一边的直径上随机取一个点，并通过该点做一条垂直于该直径的弦，由圆内接正三角形的性质可得，在该点位于半径中点的时候弦长度等于三角形的边长度，当点离圆心的距离小于（1/2）r时，弦长度大于三角形边长，所以概率P=1/2 ;

2．上图中第二幅图，通过三角形任意一个顶点做圆的切线，因为等边三角形内角为60°，所以左边、右边的角都是60°。由该顶点做一条弦，弦的另一端在圆上任意一点。由图可知弦与切线成60°角和120°角之间的时候弦长度大于三角形边长。所以概率P=1/3；

3．如图1第三幅图，当弦的中点在阴影标记的圆内时，弦的长度大于三角形的边长，而大圆的弦中点一定在圆内，大圆的面积是πr2，小圆的面积是π（r/2）2  。所以概率 P=1/4

为什么会有三个结果

原因在于圆内“取弦”时规定尚不够具体，不同的“等可能性假定”导致了不同的样本空间，具体如下：其中“均匀分布”应理解为“等可能取点”。

 

第一种解法：假定弦的中心在直径上均匀分布。由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4 点与 3/4 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的,则所求概率为1/2 。

第二种解法：假定端点在圆周上均匀分布。由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～ 120° 之间，其长才合乎要求。所有方向是等可能的，则所求概率为1/3 。

第三种解法： 假定弦长被其中心唯一确定。弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。中点位置都是等可能的,则所求概率为1/4。

我们假定的变量不一样，最终得出的概率是完全不一样的，所以当我们定义概率时要先明确指出样本空间是什么。

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