一大盘洋芋

双因素方差分析（R）

原理

双因素等重复试验的方差分析

假设前提和模型设定

离差平方和分解

检验统计量和拒绝域

例题

应用

双因素无重复试验的方差分析

假设前提和模型设定

离差平方和分解

检验统计量和拒绝域

例题

应用

原理

在单因素方差分析的基础上，双因素方差分析有两种类型，一种是无交互作用（双因素无重复试验）的双因素方差分析，一种是有交互作用（双因素等重复试验）的双因素方差分析。

双因素等重复试验的方差分析

假设前提和模型设定

设有交互作用的两个因素A，B作用于试验的指标，因素A有r个水平 $A_{1},A_{2},...,A_{r}$ ，因素B有s个水平 $B_{1},B_{2},...,B_{s}$ ，现对因素A，B的水平的每对组合 $(A_{i},B_{j}),i=1,2,...,r;j=1,2,...,s$ 都作 $t(t\geq 2)$ 次试验（成为等重复试验），得到结果：

因素	$B_{1}$	$B_{2}$	...	$B_{s}$
$A_{1}$	$\begin{aligned} X&_{111},X_{112},\\ &...,X_{11t} \end{aligned}$	$\begin{aligned} X&_{121},X_{122},\\ &...,X_{12t} \end{aligned}$	...	$\begin{aligned} X&_{1s1},X_{1s2},\\ &...,X_{1st} \end{aligned}$
$A_{2}$	$\begin{aligned} X&_{211},X_{212},\\ &...,X_{21t} \end{aligned}$	$\begin{aligned} X&_{221},X_{222},\\ &...,X_{22t} \end{aligned}$	...	$\begin{aligned} X&_{2s1},X_{2s2},\\ &...,X_{2st} \end{aligned}$
...	...	...		...
$A_{r}$	$\begin{aligned} X&_{r11},X_{r12},\\ &...,X_{r1t} \end{aligned}$	$\begin{aligned} X&_{r21},X_{r22},\\ &...,X_{r2t} \end{aligned}$	...	$\begin{aligned} X&_{rs1},X_{rs2},\\ &...,X_{rst} \end{aligned}$

由表可知，一共有r*s个总体，基于假设前提：

1.每个总体均服从正态分布，且方差相等，即， $X_{ijk}\sim N(\mu_{ij},\sigma^{2}),i=1,2,...,r;j=1,2,...,s;k=1,2,...,t$

2.每个总体中抽取的样本相互独立

引入记号：

$\mu=\frac{1}{rs}\sum^{r}_{i=1}\sum^{s}_{j=1}\mu_{ij}$

$\mu_{i\cdot }=\frac{1}{s}\sum_{j=1}^{s}\mu_{ij},i=1,2,...,r$

$\mu_{\cdot j}=\frac{1}{r}\sum_{i=1}^{r}\mu_{ij},j=1,2,...,s$

$\alpha_{i}=\mu_{i\cdot}-\mu,i=1,2,...,r$

$\beta_{i}=\mu_{\cdot j}-\mu,j=1,2,...,s$

其中， $\alpha_{i}$ 为 $A_{i}$ 的效应， $\beta_{j}$ 为 $B_{j}$ 的效应，且

$\sum^{r}_{i=1}\alpha_{i}=0$

$\sum^{s}_{j=1}\beta_{j}=0$

把 $\mu_{ij}$ 表示为

$\begin{aligned} \mu_{ij}&=\mu+\alpha_{i}+\beta_{j}+(\mu_{ij}-\mu_{i\cdot}-\mu_{\cdot j}+\mu)\\ &=\mu+\alpha_{i}+\beta_{j}+\gamma_{ij} \end{aligned}$

其中， $\gamma_{ij}=\mu_{ij}-\mu_{i\cdot}-\mu_{\cdot j}+\mu$ 称为 $A_{i}$ 因素水平和 $B_{j}$ 因素水平的交互效应，且

$\sum^{r}_{i=1}\gamma_{ij}=0$

$\sum^{s}_{j=1}\gamma_{ij}=0$

因此可把 $X_{ijk}$ 写成 $X_{ijk}=\mu+\alpha_{i}+\beta_{j}+\gamma_{ij}+\varepsilon _{ij}$ ，其中 $\varepsilon _{ij}\sim N(0,\sigma^{2})$ ，各 $\varepsilon_{ij}$ 独立

对于这一模型，要检验以下三个假设：

$\left\{\begin{matrix} H_{0}:\alpha_{1}=\alpha_{2}=...=\alpha_{r}=0\\ H_{1}:\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{r}\,are\,not\, all\,0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} H_{0}:\beta_{1}=\beta_{2}=...=\beta_{s}=0\\ H_{1}:\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{s}\,are\,not\, all\,0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} H_{0}:\gamma_{1}=\gamma_{2}=...=\gamma_{k}=0\\ H_{1}:\gamma_{1},\gamma_{2},...,\gamma_{k}\,are\,not\, all\,0 \end{matrix}\right.$

离差平方和分解

引入记号：

$\overline{X}=\frac{1}{rst}\sum^{r}_{i=1}\sum^{s}_{j=1}\sum^{t}_{k=1}X_{ijk}$

$\overline{X}_{ij\cdot}=\frac{1}{t}\sum^{t}_{k=1}X_{ijk},i=1,2,...,r;j=1,2,...,s$

$\overline{X}_{i\cdot\cdot}=\frac{1}{st}\sum^{s}_{j=1}\sum^{t}_{k=1},i=1,2,...,r$

$\overline{X}_{\cdot j\cdot}=\frac{1}{rt}\sum^{r}_{i=1}\sum^{t}_{k=1},j=1,2,...,s$

总离差平方和：

$\begin{aligned} SST&=\sum^{r}_{i=1}\sum^{s}_{j=1}\sum^{t}_{k=1}(X_{ijk}-\overline{X})^{2}\\ &=\begin{aligned}&\sum^{r}_{i=1}\sum^{s}_{j=1}\sum^{t}_{k=1}[(X_{ijk}-\overline{X}_{ij\cdot})+(\overline{X}_{i\cdot\cdot}-\overline{X})+(\overline{X}_{\cdot j\cdot}-\overline{X})\\ &+(\overline{X}_{ij\cdot}-\overline{X}_{i\cdot\cdot}-\overline{X}_{\cdot j\cdot}-\overline{X})] \end{aligned}\\ &=\begin{aligned} &\sum^{r}_{i=1}\sum^{s}_{j=1}\sum^{t}_{k=1}(X_{ijk}-\overline{X})^{2}+st\sum^{r}_{i=1}(\overline{X}_{i\cdot\cdot}-\overline{X})^{2}\\ &+rt\sum^{r}_{i=1}(\overline{X}_{\cdot j\cdot}-\overline{X})^{2}+t\sum^{r}_{i=1}\sum^{s}_{j=1}(\overline{X}_{ij\cdot}-\overline{X}_{i\cdot\cdot}-\overline{X}_{\cdot j\cdot}-\overline{X})^{2} \end{aligned}\\ &=SSW+SSA+SSB+SSAB \end{aligned}$

其中，

组内离差平方和为

$SSW=\sum^{r}_{i=1}\sum^{s}_{j=1}\sum^{t}_{k=1}(X_{ijk}-\overline{X}_{ij\cdot})^{2}$

因素A的效应平方和为

$SSA=st\sum^{r}_{i=1}(\overline{X}_{i\cdot\cdot}-\overline{X})^{2}$

因素B的效应平方和为

$SSB=rt\sum^{s}_{j=1}(\overline{X}_{\cdot j\cdot}-\overline{X})^{2}$

因素A、B交互效应平方和为

$SSAB=t\sum^{r}_{i=1}\sum^{s}_{j=1}(\overline{X}_{ij\cdot}-\overline{X}_{i\cdot\cdot}-\overline{X}_{\cdot j\cdot}-\overline{X})^{2}$

在实际计算中，可以使用以下公式简便计算：

记

$T_{\cdot\cdot\cdot}=\sum^{r}_{i=1}\sum^{s}_{j=1}\sum^{t}_{k=1}X_{ijk}$

$T_{ij\cdot}=\sum^{t}_{k=1}X_{ijk}$

$T_{i\cdot\cdot}=\sum^{s}_{j=1}\sum^{t}_{k=1}X_{ijk}$

$T_{\cdot j\cdot}=\sum^{r}_{i=1}\sum^{t}_{k=1}X_{ijk}$

计算

$SST=\sum^{r}_{i=1}\sum^{s}_{j=1}\sum^{t}_{k=1}X_{ijk}^{2}-\frac{T^{2}_{\cdot\cdot\cdot}}{rst}$

$SSA=\frac{1}{st}\sum^{r}_{i=1}T_{i\cdot\cdot}^{2}-\frac{T^{2}_{\cdot\cdot\cdot}}{rst}$

$SSB=\frac{1}{rt}\sum^{s}_{j=1}T_{\cdot j\cdot}^{2}-\frac{T^{2}_{\cdot\cdot\cdot}}{rst}$

$SSAB=(\frac{1}{t}\sum^{r}_{i=1}\sum^{s}_{j=1}T_{ij\cdot}^{2}-\frac{T^{2}_{\cdot\cdot\cdot}}{rst})-SSA-SSB$

检验统计量和拒绝域

上述离差平方和的统计特性为

离差平方和	自由度	均值估计量
SST	rst-1
SSW	rs(t-1)	$E(\frac{SSW}{rs(t-1)})=\sigma^{2}$
SSA	r-1	$E(\frac{SSA}{r-1})=\sigma^{2}+\frac{st\sum^{r}_{i=1}\alpha_{i}^{2}}{r-1}$
SSB	s-1	$E(\frac{SSB}{s-1})=\sigma^{2}+\frac{rt\sum^{s}_{j=1}\beta_{j}^{2}}{s-1}$
SSAB	(r-1)(s-1)	$E(\frac{SSAB}{(r-1)(s-1)})=\sigma^{2}+\frac{t\sum^{r}_{i=1}\sum^{s}_{j=1}\gamma_{ij}^{2}}{(r-1)(s-1)}$

当 $H_{0}:\alpha_{1}=\alpha_{2}=...=\alpha_{r}=0$ 为真时，

$E(\frac{SSA}{r-1})=\sigma^{2}$

$\frac{SSA}{\sigma^{2}}\sim \chi^{2}(r-1)$

$F_{A}=\frac{\frac{SSA}{\sigma^{2}(r-1)}}{\frac{SSW}{\sigma^{2}rs(t-1)}}=\frac{\frac{SSA}{(r-1)}}{\frac{SSW}{rs(t-1)}}\sim F((r-1),rs(t-1))$

故拒绝域为

$F_{A}=\frac{\frac{SSA}{\sigma^{2}(r-1)}}{\frac{SSW}{\sigma^{2}rs(t-1)}}=\frac{\frac{SSA}{(r-1)}}{\frac{SSW}{rs(t-1)}}\geq F_{\alpha}((r-1),rs(t-1))$

类似地，假设 $H_{0}:\beta_{1}=\beta_{2}=...=\beta_{s}=0$ 的拒绝域为

$F_{B}=\frac{\frac{SSB}{(s-1)}}{\frac{SSW}{rs(t-1)}}\geq F_{\alpha}((s-1),rs(t-1))$

假设 $H_{0}:\gamma_{1}=\gamma_{2}=...=\gamma_{k}=0$ 的拒绝域为

$F_{AB}=\frac{\frac{SSAB}{(r-1)(s-1)}}{\frac{SW}{rs(t-1)}}\geq F_{\alpha}((r-1)(s-1),rs(t-1))$

双因素等重复试验的方差分析表
方差来源	离差平方和	自由度	均方	F比
因素A	SSA	r-1	$\overline{SSA}=\frac{SSA}{r-1}$	$F_{A}=\frac{\overline{SSA}}{\overline{SSW}}$
因素B	SSB	s-1	$\overline{SSB}=\frac{SSB}{s-1}$	$F_{B}=\frac{\overline{SSB}}{\overline{SSW}}$
交互作用	SSAB	(r-1)(s-1)	$\overline{SSAB}=\frac{SSAB}{(r-1)(s-1)}$	$F_{AB}=\frac{\overline{SSAB}}{\overline{SSW}}$
误差	SSW	rs(t-1)	$\overline{SSW}=\frac{SSW}{rs(t-1)}$
总和	SST	rst-1

例题

一火箭使用四种燃料A，三种推进器B作射程试验，每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次，得到射程结果服从双因素方差分析假设条件（以海里计），检验两个因素及交互效应是否显著

B1=c(58.2,52.6,49.1,42.8,60.1,58.3,75.8,71.5)
B2=c(56.2,41.2,54.1,50.5,70.9,73.2,58.2,51.0)
B3=c(65.3,60.8,51.6,48.4,39.2,40.7,48.7,41.4)
d=cbind(B1,B2,B3)
data=data.frame(d)
rownames(data)=c("A1","A1*","A2","A2*",
                 "A3","A3*","A4","A4*")
r=4
s=3
t=2
n=24
Xbar=mean(c(mean(data$B1),mean(data$B2),mean(data$B3)))
SST=sum((c(data$B1,data$B2,data$B3)-Xbar)**2)
tdata=data.frame(t(data))
SSA=s*t*((mean(c(tdata$A1,tdata$A1.))-Xbar)**2+
  (mean(c(tdata$A2,tdata$A2.))-Xbar)**2+
  (mean(c(tdata$A3,tdata$A3.))-Xbar)**2+
  (mean(c(tdata$A4,tdata$A4.))-Xbar)**2)
SSB=r*t*((mean(data$B1)-Xbar)**2+
       (mean(data$B2)-Xbar)**2+
       (mean(data$B3)-Xbar)**2)
SSAB=0
m=function(rc,sc){
  #引入目标数组函数简化代码，前述计算也可以用这个函数
  y=c()
  for(i in rc){
    for(j in sc){
      y=c(y,data[t*i-1,j],data[t*i,j])
    }
  }
  return(y)
}
for(i in 1:r){
  for(j in 1:s){
    Xijbar=mean(m(i,j))
    Xibar=mean(m(i,c(1,2,3)))
    Xjbar=mean(m(c(1,2,3,4),j))
    Xbar=mean(m(c(1,2,3,4),c(1,2,3)))
    SSAB=SSAB+(Xijbar-Xibar-Xjbar+Xbar)**2
  }
}
SSAB=t*SSAB
SSW=SST-SSA-SSB-SSAB
tab1=data.frame(matrix(nrow = 5,ncol = 5))
colnames(tab1)=c("方差来源","偏差平方和","自由度",
                 "均方","F比")
tab1[1,1]="因素A"
tab1[2,1]="因素B"
tab1[3,1]="交互作用"
tab1[4,1]="误差"
tab1[5,1]="总和"
tab1[1,2]=SSA
tab1[2,2]=SSB
tab1[3,2]=SSAB
tab1[4,2]=SSW
tab1[5,2]=SST
tab1[1,3]=r-1
tab1[2,3]=s-1
tab1[3,3]=(r-1)*(s-1)
tab1[4,3]=r*s*(t-1)
tab1[5,3]=r*s*t-1
tab1[1,4]=SSA/(r-1)
tab1[2,4]=SSB/(s-1)
tab1[3,4]=SSAB/((r-1)*(s-1))
tab1[4,4]=SSW/(r*s*(t-1))
tab1[1,5]=tab1[1,4]/tab1[4,4]
tab1[2,5]=tab1[2,4]/tab1[4,4]
tab1[3,5]=tab1[3,4]/tab1[4,4]
qf(1-0.05,r-1,r*s*(t-1))
qf(1-0.05,s-1,r*s*(t-1))
qf(1-0.05,(r-1)*(s-1),r*s*(t-1))

由于

$F_{A}=4.417388>F_{0.05}(3,12)=3.490295$

$F_{B}=9.393902>F_{0.05}(2,12)=3.885294$

$F_{AB}=14.928825>F_{0.05}(6,12)=2.99612$

所以因素A,B及其交互效应都显著。

应用

A=c("A1","A1","A2","A2","A3","A3","A4","A4")
mdat=data.frame(A,B1,B2,B3)
library(reshape2)
mdata=melt(mdat,
           id.vars = "A",
           measure.vars = c("B1","B2","B3"),
           variable.name = "B",
           value.name = "range")
aov=aov(range~A+B+A*B,data=mdata)
summary(aov)

双因素无重复试验的方差分析

假设前提和模型设定

如果在实际问题中，已经知道因素A、B不存在交互作用，就可以对每一个组合 $(A_{i},B_{j})$ 只做一次试验，得到实验结果

因素	$B_{1}$	$B_{2}$	...	$B_{s}$
$A_{1}$	$X_{11}$	$X_{12}$	...	$X_{1s}$
$A_{2}$	$X_{21}$	$X_{22}$	...	$X_{2s}$
...	...	...	...	...
$A_{r}$	$X_{r1}$	$X_{r2}$	...	$X_{rs}$

由表可知，一共有r*s个样本数据，基于假设前提：

1.每个样本数据均服从正态分布，且方差相等，即，

$X_{ij}\sim N(\mu_{ij},\sigma^{2}),i=1,2,...,r;j=1,2,...,s$

2.每个样本数据 $X_{ij}$ 相互独立

沿用上一试验的记号，由于不存在交互作用， $\gamma_{ij}=0$ ，于是

$\mu_{ij}=\mu+\alpha_{i}+\beta_{j}$

则 $X_{ij}=\mu+\alpha_{i}+\beta_{j}+\varepsilon_{ij}$ ，其中 $\varepsilon_{ij}\sim N(0,\sigma^{2})$ 且各 $\varepsilon_{ij}$ 独立

所需检验的假设为：

$\left\{\begin{matrix} H_{0}:\alpha_{1}=\alpha_{2}=...=\alpha_{r}=0\\ H_{1}:\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{r}\,are\,not\, all\,0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} H_{0}:\beta_{1}=\beta_{2}=...=\beta_{s}=0\\ H_{1}:\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{s}\,are\,not\, all\,0 \end{matrix}\right.$

离差平方和分解

总离差平方和为

$\begin{aligned} SST&=\sum^{r}_{i=1}\sum^{s}_{j=1}(X_{ij}-\overline{X})^{2}\\ &=\sum^{r}_{i=1}\sum^{s}_{j=1}[(\overline{X}_{i\cdot}-\overline{X})+(\overline{X}_{\cdot j}-\overline{X})+\\ &\,\,\,\,\,\,\,\,(X_{ij}-\overline{X}_{i\cdot}-\overline{X}_{\cdot j}+\overline{X})]^{2}\\ &=s\sum^{r}_{i=1}(\overline{X}_{i\cdot}-\overline{X})^{2}+r\sum^{s}_{j=1}(\overline{X}_{\cdot j}-\overline{X})^{2}+\\ &\,\,\,\,\,\,\,\sum^{r}_{i=1}\sum^{s}_{j=1}(X_{ij}-\overline{X}_{i\cdot}-\overline{X}_{\cdot j}+\overline{X})^{2} \\ &=SSA+SSB+SSW\end{aligned}$

因素A的效应平方和为

$SSA=s\sum^{r}_{i=1}(\overline{X}_{i\cdot}-\overline{X})^{2}$

因素B的效应平方和为

$SSB=r\sum^{s}_{j=1}(\overline{X}_{\cdot j}-\overline{X})^{2}$

组内离差平方和为

$SSW=\sum^{r}_{i=1}\sum^{s}_{j=1}(X_{ij}-\overline{X}_{i\cdot}-\overline{X}_{\cdot j}+\overline{X})^{2}$

为简便计算，可先计算其他离差平方和，再计算SSW

检验统计量和拒绝域

上述离差平方和的统计特性为

离差平方和	自由度	均值估计量
SST	rs-1
SSA	r-1	$E(\frac{SSA}{r-1})=\sigma^{2}+\frac{s\sum^{r}_{i=1}\alpha_{i}^{2}}{r-1}$
SSB	s-1	$E(\frac{SSB}{s-1})=\sigma^{2}+\frac{r\sum^{s}_{j=1}\beta_{j}^{2}}{s-1}$
SSW	(r-1)(s-1)	$E(\frac{SSW}{(r-1)(s-1)})=\sigma^{2}$

假设 $H_{0}:\alpha_{1}=\alpha_{2}=...=\alpha_{r}=0$ 的拒绝域为

$F_{A}=\frac{\frac{SSA}{\sigma^{2}(r-1)}}{\frac{SSW}{\sigma^{2}(r-1)(s-1)}}=\frac{\frac{SSA}{(r-1)}}{\frac{SSW}{(r-1)(s-1)}}\geq F_{\alpha}((r-1),(r-1)(s-1))$

假设 $H_{0}:\beta_{1}=\beta_{2}=...=\beta_{s}=0$ 的拒绝域为

$F_{B}=\frac{\frac{SSB}{(s-1)}}{\frac{SSW}{(r-1)(s-1)}}\geq F_{\alpha}((s-1),(r-1)(s-1))$

双因素无重复试验的方差分析表
方差来源	离差平方和	自由度	均方	F比
因素A	SSA	r-1	$\overline{SSA}=\frac{SSA}{r-1}$	$F_{A}=\frac{\overline{SSA}}{\overline{SSW}}$
因素B	SSB	s-1	$\overline{SSB}=\frac{SSB}{s-1}$	$F_{B}=\frac{\overline{SSB}}{\overline{SSW}}$
误差	SSW	(r-1)(s-1)	$\overline{SSW}=\frac{SSW}{(r-1)(s-1)}$
总和	SST	rs-1

例题

有5个不同时间 $A_{i}$ 、4个不同地点 $B_{j}$ 空气中的颗粒物的含量（以 $mg/m^{3}$ 计）的数据，符合假设前提，检验是否显著

B1=c(76,82,68,63)
B2=c(67,69,59,56)
B3=c(81,96,67,64)
B4=c(56,59,54,58)
B5=c(51,70,42,37)
data2=data.frame(B1,B2,B3,B4,B5)
rowname=c("A1","A2","A3","A4")
rownames(data2)=rowname
r=dim(data2)[1]
s=dim(data2)[2]
n=r*s
m=function(rc,sc){
  y=c()
  for(i in rc){
    for(j in sc){
      y=c(y,data2[i,j])
    }
  }
  return(y)
}
data2[5,1]=sum(m(1:r,1))
data2[5,2]=sum(m(1:r,2))
data2[5,3]=sum(m(1:r,3))
data2[5,4]=sum(m(1:r,4))
data2[5,5]=sum(m(1:r,5))
rownames(data2)=c(rowname,"Tj")
Ti=c()
for(i in 1:(r+1)){
  Ti=c(Ti,sum(m(i,1:s)))
}
data2$Ti=Ti
SST=sum(m(1:r,1:s)**2)-(sum(m(1:r,1:s))**2)/r/s
SSA=sum(m(1:r,6)**2)/s-(sum(m(1:r,1:s))**2)/r/s
SSB=sum(m(5,1:s)**2)/r-(sum(m(1:r,1:s))**2)/r/s
SSW=SST-SSA-SSB
tab2=data.frame(matrix(nrow = 4,ncol = 5))
colnames(tab2)=c("方差来源","平方和","自由度","均方","F比")
tab2[1,1]="因素A"
tab2[2,1]="因素B"
tab2[3,1]="误差"
tab2[4,1]="总和"
tab2[1,2]=SSA
tab2[2,2]=SSB
tab2[3,2]=SSW
tab2[4,2]=SST
tab2[1,3]=r-1
tab2[2,3]=s-1
tab2[3,3]=(r-1)*(s-1)
tab2[4,3]=r*s-1
tab2[1,4]=tab2[1,2]/tab2[1,3]
tab2[2,4]=tab2[2,2]/tab2[2,3]
tab2[3,4]=tab2[3,2]/tab2[3,3]
tab2[1,5]=tab2[1,4]/tab2[3,4]
tab2[2,5]=tab2[2,4]/tab2[3,4]
qf(1-0.05,r-1,(r-1)*(s-1))
qf(1-0.05,s-1,(r-1)*(s-1))

由于

$F_{A}=10.72241>F_{0.05}(3,12)=3.490295$

$F_{B}=13.23929>F_{0.05}(4,12)=3.259167$

所以因素A、B都显著。

应用

library(reshape2)
month=c("A1","A2","A3","A4")
Dat2=data.frame(month,B1,B2,B3,B4,B5)
rdata2=melt(Dat2,
            id.vars = "month",
            measure.vars = c("B1","B2","B3","B4","B5"),
            variable.name = "province",
            value.name = "concentration")
aov=aov(concentration~month+province,
  data=rdata2)
summary(aov)

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《C++语言的设计和演化》读书感悟（一）依晴无旧 C\C++java 开发语言
写了一百多篇技术文章了，我突然想写一下和技术文搭一点关系的语言发展设计的文章，《C++语言的设计和演化》是我无聊翻自己库存电子书找到了，因为当年看这本书是C++之父写的，所以就保存下来，但是当时主要学习C++，这本书更多是C++之父从本身出发，对C++设计和演化的观点和感想，所以当时就被我扔去吃灰了。现在重拾起来，读起来别有风味。开发语言，虽然很多，但是万变不离其宗，学进去了，无非就是数据类型、控
【机器学习与R语言】1-机器学习简介苹果酱0567 面试题汇总与解析 java 中间件开发语言 spring boot 后端
1.基本概念机器学习：发明算法将数据转化为智能行为数据挖掘VS机器学习：前者侧重寻找有价值的信息，后者侧重执行已知的任务。后者是前者的先期准备过程：数据——>抽象化——>一般化。或者：收集数据——推理数据——归纳数据——发现规律抽象化：训练：用一个特定模型来拟合数据集的过程用方程来拟合观测的数据：观测现象——数据呈现——模型建立。通过不同的格式来把信息概念化一般化：一般化：将抽象化的知识转换成可用
python学习第七节：正则表达式一只会敲代码的小灰灰 python学习 python 学习正则表达式
python学习第七节：正则表达式正则表达式基本上在所有开发语言中都会使用到，在python中尤为重要。当我们使用python开发爬虫程序将目标网页扒下来之后我们要从网页中解析出我们想要的信息，这个时候就需要正则表达式去进行匹配。importrere的常量re模块中有9个常量，常量的值都是int类型！（知道就行）修饰符描述re.l使匹配对大小写不敏感re.L做本地化识别(locale-aware)
R语言标准普尔500指数Garch(1,1)模型 ronghuilin
一、例3.3标准普尔500指数的月超额收益率，从1926年开始，共792个观察值，如图所示。记rt为超额收益率，rt的样本ACF和rt2的样本PACF。在间隔为1，3时有少许序列相关性，但主要特征是平方序列显示的强烈线性相关性。例题建立garch(1,1)模型的过程：（1）应用arma(p,q)模型消除数据的线性依赖（2）在arma(p,q)模型基础上，建立garch(1,1)模型（3）改进g
R 地图绘制-比例尺与指北针 jamesjin63
ggplot绘制mapR语言可以进行数据分析，也可以进行地图绘制，而且非常简洁，快速。虽然Arcgis基于桌面可视化操作，能够进行空间分析，但是唯一不足的就是操作步骤繁琐而且一不小心，就要从头再来，可重复性较低。这篇文章主要讲述如何利用R语言中的ggplot与sf绘制带有指北针、图列与标尺的地图屏幕快照2020-06-28下午9.27.59.png数据我们下载非洲地区54个国家的图层Afirca.
如何有效的学习AI大模型？ Python程序员罗宾学习人工智能语言模型自然语言处理架构
学习AI大模型是一个系统性的过程，涉及到多个学科的知识。以下是一些建议，帮助你更有效地学习AI大模型：基础知识储备：数学基础：学习线性代数、概率论、统计学和微积分等，这些是理解机器学习算法的数学基础。编程技能：掌握至少一种编程语言，如Python，因为大多数AI模型都是用Python实现的。理论学习：机器学习基础：了解监督学习、非监督学习、强化学习等基本概念。深度学习：学习神经网络的基本结构，如卷
Cocos2d、Cocos2dx、Cocos Creator、Cocos Studio的区别 Thomas游戏圈
一、Cocos2d和Cocos2dx的区别【开发语言】：Cocos2d是Object-C写的，Cocos2dx是C++写的，支持使用C++、Lua或Java进行开发。【运行平台】：Cocos2d只能在IOS下运行，Cocos2dx是跨平台的，适配iOS、Android、HTML5、Windows和Mac系统，功能侧重于原生移动平台。点击链接加入群聊【Unity/Cocos交流群】【国籍】：Coco
springboot宠物咖啡馆平台的设计与实现然然学长 spring boot 宠物 java 后端 intellij-idea 开发语言
运行环境环境说明:开发语言:java框架:springboot，vueJDK版本:JDK1.8数据库:mysql5.7+(推荐5.7，8.0也可以)数据库工具:Navicat11+开发软件:idea/eclipse(推荐idea)Maven包:Maven3.3.9+系统详细实现管理员模块的实现用户信息管理基于SpringBoot的宠物咖啡馆平台的设计与实现的系统管理员可以管理用户，可以对用户信息添
学习小组Day4笔记--王英芳一万万万万
R语言基础准备工作电脑用户名需要是英文R基础，Rstudio人性化界面资源Rfordatasciencechapter1下载RandRstudio给自己一个全新的R语言环境R是什么一种变成语言，统计计算和绘图的环境，汇集了许多函数，强大分析功能。图形界面Rstudio开源集成开发环境IDE4个板块，脚本编辑器，控制台（脚本运行，结果显示），environment（对象/变量列表）history，文
R语言基础笔记 waterHBO r语言笔记开发语言
起因:今天不知道要写什么。把之前的笔记复制一下。代码开头，导入:#清除系统变量rm(list=ls())#隐藏警告信息:options(warn=-1)#把当前目录，设置为工作目录。library(rstudioapi)current_folder_path0.0&ideology<10.0)分组聚合，类似groupby()df2<-aggregate(df1KaTeXparseerror:Exp
R语言包AMORE安装报错问题以及RStudio与Rtools环境配置卡卡_R-Python R语言数据分析与可视化 r语言开发语言
在使用R语言进行AMORE安装时会遇到报错，这时候需要采用解决办法：'''AMORE包安装，需要离线官网下载安装包：Indexof/src/contrib/Archive/AMORE(r-project.org)https://cran.r-project.org/src/contrib/Archive/AMORE/一、出现的问题最近开始学习R语言，安装了最新版的R4.4.1和RStudio，但安
嵌入式鸿蒙系统开发语言与开发方法分析嵌入式开发星球鸿蒙万物互联人工智能之卓越 harmonyos 开发语言华为
大家好，今天主要给大家分享一下，HarmonyOS系统的主力开发语言ArkTS语言开发方法，它是基于TypeScript(简称TS)语言扩展而来。第一：ArkTS语言基本特性目的：声明式UI，让开发者以更简洁，更自然的方式开发高性能应用。声明式UI基本特性：基本UI描述:ArkTS定义了各种装饰器、自定义组件、UI描述机制，再配合UI开发框架中的UI内置组件、事件方法、属性方法等共同构成了UI开发
今日复盘71/365 文青十三
最近在工作上一直都在做同样的工作，开发游戏技能，做的我头疼，没有新意，各种乱七八糟的设计，让我对这份工作失去了兴趣。有时候真相换一份工作，但是能换到哪去呢。其实现在的公司都差不多，在这里不管怎么说还算是比较自由的，再加上月还贷压力那么大，有一个月没有工资，我过不下去了。为了能好好工作，今天有开始学习新技术。不管怎么说我对新技术还是一直都保持着兴趣的，所以决定先花上三四天把新开发语言的基础学会。然后
日记2021-3-8 思考z
今天开课第一天，对于今天的目标完成的还不错早上起床赖了一下，下午去图书馆呆了2个多小时，晚自习看了概率论与统计学，单词：talent天赋，才能，thick厚的，obstacleto对……障碍，introduce介绍，传入，thin瘦的，稀薄的，thorough彻底的，完全的，occurredto想到，invent发明，throat喉咙，ofcourse当然，thunder雷，雷声，tide潮汐，o
生态位宽度计算&可视化展示（R语言）光疏介质 r语言
生态位宽度是指物种（或其它生物单位）在群落中所利用的各种不同资源的总和。物种的生态位越宽，该物种的特化程度就越小，倾向于泛化种（generalistspecies）；物种的生态位越窄，倾向于是一个特化种（specialistsspecies）。本篇所使用为生态位宽度指数即**Levins的生态位宽度指数。**（除此之外也有用shannon指数）#安装并加载必要的包if(!requireNamesp
解锁前端新潜能：如何使用 Rust 锈化前端工具链京东零售技术前端 taro 前端 taro
前言近年来，Rust的受欢迎程度不断上升。首先，在操作系统领域，Rust已成为Linux内核官方认可的开发语言之一，Windows也宣布将使用Rust来重写内核，并重写部分驱动程序。此外，国内手机厂商Vivo也宣布使用Rust开发了名为“蓝河”的操作系统。除此之外，Rust在图形渲染、游戏开发、中间件开发、边缘计算、计算安全等领域也是遍地开花，可以说，Rust正在以惊人的速度重塑着各个领域的发展，
基于java+SpringBoot+Vue的小徐影城管理系统设计与实现 paterWang Java精品毕设实战计算机毕业设计 Java java spring boot vue.js
开发语言:Java数据库:MySQL技术:SpringBoot+MyBatis工具:IDEA/Ecilpse、Navicat、Maven系统简介小徐影城管理系统是一款基于Java、SpringBoot和Vue.js技术开发的影院管理系统，旨在为用户提供一个便捷、高效的在线购票和影院管理平台。系统通过B/S架构，实现了管理员和用户两端的功能操作，使得影院管理更加系统化、规范化。整体功能包含：电影信息
R语言多项逻辑回归-因变量是无序多分类医学和生信笔记医学统计学 r语言医学统计学
因变量是无序多分类资料（＞2）时，可使用多分类逻辑回归（multinomiallogisticregression）。使用课本例16-5的数据，课本电子版及数据已上传到QQ群，自行下载即可。某研究人员欲了解不同社区和性别之间居民获取健康知识的途径是否相同，对2个社区的314名成人进行了调查，其中X1是社区，社区1用0表示，社区2用1表示；X2是性别，0是男，1是女，Y是获取健康知识途径，1是传统大
PDF和CDF 薛定谔的猫_大雪概率论
在概率论和统计学中，PDF和CDF是两种描述随机变量分布的重要函数：ProbabilityDensityFunction(PDF)：概率密度函数是用来描述连续随机变量可能取值的概率分布的函数。对于一个连续型随机变量X，其PDFf(x)定义为在某个取值x处的概率密度，即X在该值附近出现的概率密度。PDF的积分可以得到概率，即在某个区间内随机变量出现的概率。CumulativeDensityFunct
Python 数学建模——方差分析 Desire.984 Python 数学建模数学建模 python 概率论
文章目录前言单因素方差分析原理核心代码双因素方差分析数学模型分析依据典型代码前言方差分析也是概率论中非常重要的内容，有时数学建模需要用到。方差分析是干什么的？如果说假设检验用于分析两个总体之间的均值μ1,μ2\mu_1,\mu_2μ1,μ2是否存在显著的差别，那么方差分析就是分析两个以上总体之间的均值是否存在显著的差别。单因素方差分析用途：已知一个量AAA可能会影响XXX，AAA的不同取值可能
计算机毕业设计 SSM高校网上报名系统网上报名数据系统会计网上报名系统Java 计算机程序老哥
作者主页：计算机毕业设计老哥有问题可以主页问我一、开发介绍1.1开发环境开发语言：Java数据库：MySQL系统架构：B/S后端：SSM(Spring+SpringMVC+Mybatis)前端：Vue工具：IDEA或者Eclipse，JDK1.8，Maven二、系统介绍2.1图片展示注册登录页面：登陆前端页面功能：首页、级别专业、系统论坛、系统公告、个人中心、后台管理、在线客服首页级别专业系统公告
java计算机毕业设计Vue潍坊学院宿舍管理系统设计与实现MyBatis+系统+LW文档+源码+调试部署一梵sheji288 java mybatis vue.js
java计算机毕业设计Vue潍坊学院宿舍管理系统设计与实现MyBatis+系统+LW文档+源码+调试部署java计算机毕业设计Vue潍坊学院宿舍管理系统设计与实现MyBatis+系统+LW文档+源码+调试部署本源码技术栈：项目架构：B/S架构开发语言：Java语言开发软件：ideaeclipse前端技术：Layui、HTML、CSS、JS、JQuery等技术后端技术：JAVA运行环境：Win10、
Protocol Buffer编译器安装雪域迷影
本文翻译自ProtocolBufferCompilerInstallationProtocolBufferCompilerInstallation如何安装protocolbuffer编译器尽管不是强制性的，但gRPC应用程序通常利用ProtocolBuufer来进行服务定义和数据序列化。该站点上的大多数示例代码都使用protocolbuffer语言（proto3）的版本3。protocolbuff
R语言自学笔记-2内置数据集实验室长工
#b站视频——R语言入门与数据分析#内置数据集#固定格式的数据（矩阵、数据框或一个时间序列等）#统计建模、回归分析等试验需要找合适的数据集#R内置数据集，存储在，通过help(package="datasets")#通过data函数访问这些数据集data()#得到新窗口前面：数据集名字后面：内容#包含R所有用到的数据类型，包括：向量、矩阵、列表、因子、数据框以及时间序列等#直接输入数据集的名字就可
数据分析面试【概率论与统计学】总结之-----统计学常见面试题整理天阑的芋头 #数据分析—统计学知识数据分析统计学数据分析面试
阅读之前看这里：博主是正在学习数据分析的一员，博客记录的是在学习过程中一些总结，也希望和大家一起进步，在记录之时，未免存在很多疏漏和不全，如有问题，还请私聊博主指正。博客地址：天阑之蓝的博客，学习过程中不免有困难和迷茫，希望大家都能在这学习的过程中肯定自己，超越自己，最终创造自己。目录1.用简洁的话语阐述随机变量的含义2.划分连续型随机变量和离散型随机变量的依据3.常见的分布函数/概率密度函数，以
springboot旅游管理系统的设计与实现然然学长 spring boot 旅游 java 毕业设计后端
运行环境环境说明:开发语言:java框架:springboot，vueJDK版本:JDK1.8数据库:mysql5.7+(推荐5.7，8.0也可以)数据库工具:Navicat11+开发软件:idea/eclipse(推荐idea)Maven包:Maven3.3.9+系统实现登录模块的实现用户要想进入本系统，必须通过正确的用户名和密码，选择登录类型进行登录操作，在登录时系统会以用户名、密码和登录类型
Enum用法不懂事的小屁孩 enum
以前的时候知道enum，但是真心不怎么用，在实际开发中，经常会用到以下代码: protected final static String XJ = "XJ"; protected final static String YHK = "YHK"; protected final static String PQ = "PQ";
【Spark九十七】RDD API之aggregateByKey bit1129 spark
1. aggregateByKey的运行机制 /** * Aggregate the values of each key, using given combine functions and a neutral "zero value". * This function can return a different result type
hive创建表是报错： Specified key was too long; max key length is 767 bytes daizj hive
今天在hive客户端创建表时报错，具体操作如下 hive> create table test2(id string); FAILED: Execution Error, return code 1 from org.apache.hadoop.hive.ql.exec.DDLTask. MetaException(message:javax.jdo.JDODataSto
Map 与 JavaBean之间的转换周凡杨 java 自省转换反射
最近项目里需要一个工具类，它的功能是传入一个Map后可以返回一个JavaBean对象。很喜欢写这样的Java服务，首先我想到的是要通过Java 的反射去实现匿名类的方法调用，这样才可以把Map里的值set 到JavaBean里。其实这里用Java的自省会更方便，下面两个方法就是一个通过反射，一个通过自省来实现本功能。 1：JavaBean类 1 &nb
java连接ftp下载 g21121 java
有的时候需要用到java连接ftp服务器下载，上传一些操作，下面写了一个小例子。 /** ftp服务器地址 */ private String ftpHost; /** ftp服务器用户名 */ private String ftpName; /** ftp服务器密码 */ private String ftpPass; /** ftp根目录 */ private String f
web报表工具FineReport使用中遇到的常见报错及解决办法（二）老A不折腾 finereport web报表 java报表总结
抛砖引玉，希望大家能把自己整理的问题及解决方法晾出来，Mark一下，利人利己。出现问题先搜一下文档上有没有，再看看度娘有没有，再看看论坛有没有。有报错要看日志。下面简单罗列下常见的问题，大多文档上都有提到的。 1、没有返回数据集：在存储过程中的操作语句之前加上set nocount on 或者在数据集exec调用存储过程的前面加上这句。当S
linux 系统cpu 内存等信息查看墙头上一根草 cpu 内存 liunx
1 查看CPU 　　1.1 查看CPU个数　　# cat /proc/cpuinfo | grep "physical id" | uniq | wc -l 　　2 　　**uniq命令：删除重复行;wc –l命令：统计行数** 　　1.2 查看CPU核数　　# cat /proc/cpuinfo | grep "cpu cores" | u
Spring中的AOP aijuans spring AOP
Spring中的AOP Written by Tony Jiang @ 2012-1-18 （转）何为AOP AOP，面向切面编程。在不改动代码的前提下，灵活的在现有代码的执行顺序前后，添加进新规机能。来一个简单的Sample: 目标类： [java] view plain copy print ? package&nb
placeholder(HTML 5) IE 兼容插件 alxw4616 JavaScript jquery jQuery插件
placeholder 这个属性被越来越频繁的使用. 但为做HTML 5 特性IE没能实现这东西. 以下的jQuery插件就是用来在IE上实现该属性的. /** * [placeholder(HTML 5) IE 实现.IE9以下通过测试.] * v 1.0 by oTwo 2014年7月31日 11:45:29 */ $.fn.placeholder = function
Object类,值域,泛型等总结(适合有基础的人看) 百合不是茶泛型的继承和通配符变量的值域 Object类转换
java的作用域在编程的时候经常会遇到,而我经常会搞不清楚这个问题,所以在家的这几天回忆一下过去不知道的每个小知识点变量的值域; package 基础; /** * 作用域的范围 * * @author Administrator * */ public class zuoyongyu { public static vo
JDK1.5 Condition接口 bijian1013 java thread Condition java多线程
Condition 将 Object 监视器方法（wait、notify和 notifyAll）分解成截然不同的对象，以便通过将这些对象与任意 Lock 实现组合使用，为每个对象提供多个等待 set （wait-set）。其中，Lock 替代了 synchronized 方法和语句的使用，Condition 替代了 Object 监视器方法的使用。条件（也称为条件队列或条件变量）为线程提供了一
开源中国OSC源创会记录 bijian1013 hadoop spark MemSQL
一.Strata+Hadoop World（SHW）大会是全世界最大的大数据大会之一。SHW大会为各种技术提供了深度交流的机会，还会看到最领先的大数据技术、最广泛的应用场景、最有趣的用例教学以及最全面的大数据行业和趋势探讨。二.Hadoop &nbs
【Java范型七】范型消除 bit1129 java
范型是Java1.5引入的语言特性，它是编译时的一个语法现象，也就是说，对于一个类，不管是范型类还是非范型类，编译得到的字节码是一样的，差别仅在于通过范型这种语法来进行编译时的类型检查，在运行时是没有范型或者类型参数这个说法的。范型跟反射刚好相反，反射是一种运行时行为，所以编译时不能访问的变量或者方法(比如private)，在运行时通过反射是可以访问的，也就是说，可见性也是一种编译时的行为，在
【Spark九十四】spark-sql工具的使用 bit1129 spark
spark-sql是Spark bin目录下的一个可执行脚本，它的目的是通过这个脚本执行Hive的命令，即原来通过 hive>输入的指令可以通过spark-sql>输入的指令来完成。 spark-sql可以使用内置的Hive metadata-store，也可以使用已经独立安装的Hive的metadata store 关于Hive build into Spark
js做的各种倒计时 ronin47 js 倒计时
第一种：精确到秒的javascript倒计时代码 HTML代码: <form name="form1"> <div align="center" align="middle"
java-37.有n 个长为m+1 的字符串，如果某个字符串的最后m 个字符与某个字符串的前m 个字符匹配，则两个字符串可以联接 bylijinnan java
public class MaxCatenate { /* * Q.37 有n 个长为m+1 的字符串，如果某个字符串的最后m 个字符与某个字符串的前m 个字符匹配，则两个字符串可以联接， * 问这n 个字符串最多可以连成一个多长的字符串，如果出现循环，则返回错误。 */ public static void main(String[] args){
mongoDB安装开窍的石头 mongodb安装基本操作
mongoDB的安装 1:mongoDB下载 https://www.mongodb.org/downloads 2:下载mongoDB下载后解压
[开源项目]引擎的关键意义 comsci 开源项目
一个系统，最核心的东西就是引擎。。。。。而要设计和制造出引擎，最关键的是要坚持。。。。。。现在最先进的引擎技术，也是从莱特兄弟那里出现的，但是中间一直没有断过研发的
软件度量的一些方法 cuiyadll 方法
软件度量的一些方法http://cuiyingfeng.blog.51cto.com/43841/6775/在前面我们已介绍了组成软件度量的几个方面。在这里我们将先给出关于这几个方面的一个纲要介绍。在后面我们还会作进一步具体的阐述。当我们不从高层次的概念级来看软件度量及其目标的时候，我们很容易把这些活动看成是不同而且毫不相干的。我们现在希望表明他们是怎样恰如其分地嵌入我们的框架的。也就是我们度量的
XSD中的targetNameSpace解释 darrenzhu xml namespace xsd targetnamespace
参考链接: http://blog.csdn.net/colin1014/article/details/357694 xsd文件中定义了一个targetNameSpace后，其内部定义的元素，属性，类型等都属于该targetNameSpace,其自身或外部xsd文件使用这些元素，属性等都必须从定义的targetNameSpace中找：例如：以下xsd文件，就出现了该错误，即便是在一
什么是RAID0、RAID1、RAID0+1、RAID5，等磁盘阵列模式? dcj3sjt126com raid
RAID 1又称为Mirror或Mirroring，它的宗旨是最大限度的保证用户数据的可用性和可修复性。 RAID 1的操作方式是把用户写入硬盘的数据百分之百地自动复制到另外一个硬盘上。由于对存储的数据进行百分之百的备份，在所有RAID级别中，RAID 1提供最高的数据安全保障。同样，由于数据的百分之百备份，备份数据占了总存储空间的一半，因而，Mirror的磁盘空间利用率低，存储成本高。 Mir
yii2 restful web服务快速入门 dcj3sjt126com PHP yii2
快速入门 Yii 提供了一整套用来简化实现 RESTful 风格的 Web Service 服务的 API。特别是，Yii 支持以下关于 RESTful 风格的 API：支持 Active Record 类的通用API的快速原型涉及的响应格式（在默认情况下支持 JSON 和 XML) 支持可选输出字段的定制对象序列化适当的格式的数据采集和验证错误
MongoDB查询(3)——内嵌文档查询（七） eksliang MongoDB查询内嵌文档 MongoDB查询内嵌数组
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android4.4从系统图库无法加载图片的问题 gundumw100 android
典型的使用场景就是要设置一个头像，头像需要从系统图库或者拍照获得，在android4.4之前，我用的代码没问题，但是今天使用android4.4的时候突然发现不灵了。baidu了一圈，终于解决了。下面是解决方案： private String[] items = new String[] { "图库","拍照" }; /* 头像名称 */
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swift objc_setAssociatedObject block(version1.2 xcode6.4) 啸笑天 version
import UIKit class LSObjectWrapper: NSObject { let value: ((barButton: UIButton?) -> Void)? init(value: (barButton: UIButton?) -> Void) { self.value = value
Aegis 默认的 Xfire 绑定方式，将 XML 映射为 POJO MagicMa_007 java POJO xml Aegis xfire
Aegis 是一个默认的 Xfire 绑定方式，它将 XML 映射为 POJO, 支持代码先行的开发.你开发服务类与 POJO,它为你生成 XML schema/wsdl XML 和注解映射概览默认情况下，你的 POJO 类被是基于他们的名字与命名空间被序列化。如果
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XMLhttpRequest 请求 XML,JSON ,POJO 数据 Luob. POJO json Ajax xml XMLhttpREquest
在使用XMlhttpRequest对象发送请求和响应之前，必须首先使用javaScript对象创建一个XMLHttpRquest对象。 var xmlhttp； function getXMLHttpRequest(){ if(window.ActiveXObject){ xmlhttp:new ActiveXObject("Microsoft.XMLHTTP
jquery wuai jquery
以下防止文档在完全加载之前运行Jquery代码，否则会出现试图隐藏一个不存在的元素、获得未完全加载的图像的大小等等 $(document).ready(function(){ jquery代码; }); <script type="text/javascript" src="c:/scripts/jquery-1.4.2.min.js&quo

双因素方差分析（R）

原理

双因素等重复试验的方差分析

假设前提和模型设定

离差平方和分解

检验统计量和拒绝域

例题

应用

双因素无重复试验的方差分析

假设前提和模型设定

离差平方和分解

检验统计量和拒绝域

例题

应用

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