微分几何学习笔记 (1)- 拓扑与同胚

拓扑(Topology)

不准确地说拓扑就是某个集合上开子集组成的集合。

需要注意的是定义开子集的过程是定义拓扑，一个拓扑配上它的集合就称作一个拓扑空间(Topological Space)。

选取拓扑的过程中必须满足下面的三个条件：

(a) 全集和空集属于拓扑
(b) 有限个开子集之交还是开子集
(c) 任意个开子集之并还是开子集

同一个集合可以选取不同的拓扑，只要满足上面的三个条件就能称作它的拓扑空间。

诱导拓扑(Induced Topology)

对于集合A中的子集V，称下面的集合为拓扑T的诱导拓扑：

连续性(Continuity)

对于一个从一个拓扑空间T到另一个拓扑空间T'的上映射，如果拓扑空间T'上的开子集如果它的在T上的逆像也是开子集，则称这个映射是C0连续的。

同胚(Homomorphism)

对于一个从X到Y上的映射：

• 如果Y上的任意像y在X上的逆像x的个数不多于一个(可以为0个)，则称这个映射是One to one映射。

• 如果Y上的任意元素y在X一定存在逆像，则称这个映射是Onto映射。

如果两个拓扑空间T和T'之间存在一个映射，它是One to one和Onto映射，并且该映射和它的逆映射即是C0连续，则称这两个拓扑空间是互相同胚(homomorphism)的，这个映射是同胚映射。