15.高斯定理 BY景雅菲

平面、球、圆柱带电体的场强：高斯定理

知识点

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• 电通量（ΦE）
  表征电场分布情况的物理量
  电场的通量与穿过一个曲面的电场线的数目成正比
  

• 高斯定理

  • 高斯面
    高斯面是高斯定理中的任一闭合曲面，指真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量

  • 矢量积分转化为标量积分
    
    --高斯面的场强是由高斯面内外电荷共同产生的，因此，面内无电荷时，面上的场强不一定为0，面上的场强为0，也不一定说明面内无场强。

• 平面对称的电场

• 球对称带电体的电场

  • (a)做通过某场点的同心球面作为高斯面，随后将对该面应用高斯定理：；

  • (b)公式中是指的这个高斯面所包围的体积内部的总电量。一定要想清楚电荷到底是如何分布的。在复杂的问题中，往往需要借助电荷密度来求解。

  • (c) 设该场点的电场强度，大小为，则该面的电通量必然为，其中是高斯球面的面积。

  • (d)于是得到核心方程：，解出 即可。

• 轴对称带电体的电场

  • (a)通过该场点做同轴圆柱作为高斯面，随后将对该面应用高斯定理：；
  • (b)公式中是指的这个高斯面所包围的体积内部的总电量。一定要想清楚电荷到底是如何分布的。在复杂的问题中，往往需要借助电荷密度来求解。
  • (c) 设该场点的电场强度，大小为，则该面的电通量必然为，其中是高斯面(圆柱)的侧面积。
  • (d)于是得到核心方程：，解出 即可。

表达题

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• 一个非闭合面的电通量，其直观物理意义是贯穿某个面(比如一张纸，一面是红色，一面是黑色)的电场线的条数。注意，这里的贯穿，是指的从一面红色，从黑色穿出；即：电场线必须跟那张纸发生“交叉”，而不能是平行。则在匀强电场()中，如图所示的半径为，高度为的半圆筒，圆筒的轴线与电场线平行。则其电通量为( )

解答：0.

• 一个闭合面的电通量，其直观物理意义是穿出、穿入它的电场线的次数。注意，穿出为正贡献、穿入为负贡献。则如图所示，,则其电通量为( )

解答：0.

• 匀强电场中，平面的电通量的计算式为：

• 电通量的积分表达式为：

• 高斯定理的公式是。如图所示有三个点电荷，分别为。我们画一个封闭的曲面，将围在里面，而让呆在该封闭曲面的外围。在此情形下，请分析高斯定理中的各项。

解答：封闭曲面的通量跟有关，跟无关。
。
根据场强叠加原理，任一点的跟有关。

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• 所有无限大的均匀带电的平面或平板，以及由它们彼此平行合成的各种组合体，均简称“平面带电体”。画图描述这类带电体的场强特征：

解答：场强具有对称性。

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• 任何无限大均匀带电平板，做图示的高斯面，则其通量计算出来必然为

解答：

• “平板带电体”求电场的思路是：(a)通过某场点，在平板两边对称地做一个圆柱型表面作为高斯面，随后将对该面应用高斯定理：；
  (b)公式中 指的这个高斯面所包围的体积内部的总电量。一定要想清楚电荷到底是如何分布的。在复杂的问题中，往往需要借助电荷密度来求解。
  (c) 设该场点的电场强度，大小为，则该面的电通量必然为，其中是圆柱型表面的底面积。
  (d)于是得到核心方程：，解出 即可。
  现在有一个均匀带电的平板，电量体密度为，平板的厚度是。我们想求出该平板外部，距离中心为处的场点的电场()。我们过该点，做图示的高斯面。设该点电场大小为，则核心方程可能为：

解答：

• 现在有一个均匀带电的平板，电量体密度为，平板的厚度是。我们想求出该平板内部，距离中心为处的场点的电场(<)。我们过该点，做图示的高斯面。设该点电场大小为，则核心方程可能为：

解答：

• 无限大均匀带电平面，电荷面密度为，则其电场为

解答：

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• 组合带电体的场强请用叠加原理。考虑如图的“组合带电体”：由一个平面(电荷面密度)和一个平板(电荷体密度)进行平行组合而成。则P点的场强为( )

解答：

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• 所有均匀带电的球体，球壳，球面，以及由它们合成的各种“同心”组合体，均叫做“球对称带电体”。请画图表示这类带电体的场强特征

提示：距离球心为的各点，场强的大小都相等，并且方向一定在径向(球心——场点连线方向)上。

• 某半径为的均匀带电实心球体，设某场点到球心的距离是，场强的大小是。现在做半径为的虚拟球面(高斯面)，则该面的电通量为( )

解答：

• 现在有一个均匀带电的球壳，总电量为，球壳的半径是，球壳厚度可以忽略。我们想求出该球壳内部，距离球心为的处的电场()。我们过该点，做半径为 的同心球面作为高斯面。设该点电场大小为，则核心方程可能为：
  (1)
  (2)
  (3)
  (4)
  解出电场来，观察其规律可能为：(请理解、归纳、记忆)
  (5) 均匀带电的薄球壳，内部场强为零。
  (6) 均匀带电的薄球壳，内部场强不为零。
  进而借助叠加原理思考：有厚度的空心带电球体，空腔里的场强为
  (7) 零。
  (8) 不一定。
  则正确的是( )

解答：(1)(5)(7)

• 现在有一个均匀带电的球壳，总电量为，球壳的半径是，球壳厚度可以忽略。我们想求出该球壳外部，距离球心为的处的电场()。我们过该点，做半径为的同心球面作为高斯面。设该点电场大小为，则核心方程可能为：
  (1)
  (2)
  (3)
  (4)
  解出电场来，观察其规律可能为：(请理解、归纳、记忆)：均匀带电薄球壳的外部场强，( )等效为球心处放一个等电量的点电荷所产生的电场。
  (5) 能
  (6) 不能
  进而借助叠加原理思考：有厚度的空心带电球体，球外的场强，( )等效为球心处放一个等电量的点电荷所产生的电场。
  (7) 能
  (8) 不能。
  则正确的是( )

解答：(1)(5)(7)

• 现在有一个均匀带电的球体，总电量为，球的半径是。我们想求出该球体外部，距离球心为的 处的电场()。我们过该点，做半径为的同心球面作为高斯面。设该点电场大小为，则核心方程可能为：
  (1)
  (2)
  (3)
  (4)
  解出电场来，观察其规律可能为：(请理解、归纳、记忆)
  (5) 均匀带电球体的外部场强，等效为球心处放一个等电量的点电荷所产生的电场。

  (6) 均匀带电球体的外部场强，不等效为球心处放一个等电量的点电荷所产生的电场。

  则正确的是( )

解答：(1)(5)

• 现在有一个均匀带电的球体，总电量为，球的半径是。我们想求出该球体内部，距离球心为的处的电场()。我们过该点，做半径为的同心球面作为高斯面。设该点电场大小为，则核心方程可能为：
  (1) , with
  (2)
  (3)
  (4)
  结合以上求解过程知，均匀带电球体内部某场点的场强，可等效为( _ )集中到球心时产生的电场。(请理解、归纳、记忆)
  (5) 所有电荷。
  (6) 高斯面内所有电荷。
  则正确的是( )

解答：(1)(6)

• 组合带电体的场强请用叠加原理。在上面几道题中，我们总结归纳了几条直观经验，具体地：
  (1) 均匀带电的薄球壳，内部场强为零。
  (2) 均匀带电薄球壳的外部场强，等效为球心处放一个等电量的点电荷所产生的电场。
  (3) 均匀带电球体的外部场强，等效为球心处放一个等电量的点电荷所产生的电场。
  (4)均匀带电球体的内部某场点的场强，可等效为高斯面内所有电荷集中到球心时产生的电场。
  结合以上四点，考虑如图的“组合带电体”：由一个实心带电球体和一个空心带电球壳进行同心组合而成。其中，实心球体电量为，球壳电量为。应用点电荷公式和叠加原理，得带电体外部场点处的电场大小为：

解答：

• 结合以上四点，考虑如图的“组合带电体”：由一个实心带电球体和一个空心带电球壳进行同心组合而成。其中，实心球体电量为，球壳电量为。应用点电荷公式和叠加原理，得空腔中场点处电场大小为：

解答：

• 如图的“组合带电体”：由一个实心带电球体和一个空心带电球壳进行同心组合而成。其中，实心球体电量为，球壳电量为。应用点电荷公式和叠加原理，得球内部场点处的场强电场大小为为：

解答：

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• 所有无限长、均匀带电的细杆、空心圆筒、实心圆柱，以及由它们合成的各种“同轴”组合体，均叫做“圆柱型带电体”。请图示这类带电体的场强特征。

提示：距离轴线为的各点，场强的大小都相等，并且方向一定与轴线垂直。

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• 某圆柱型带电体(红色)，设某场点到轴线的距离是，场强的大小是。现在过该场点做一个高度为的虚拟圆柱(蓝色，高斯面)，则该面的电通量为：( )

解答：

• 现在有一个无限长、均匀带电的细棒，电荷线密度为。我们想求出距离轴线(即细棒的中心线)为的处的电场。我们过该点，做高度为的同轴圆柱。设该点电场大小为，则核心方程可能为：

解答：

• 现在有一个无限长、均匀带电、半径为的圆柱体，电荷体密度为。我们想求出带电体外部、距离轴线(即圆柱的中心线)为的处的电场()。我们过该点，做高度为的同轴圆柱面。设该点电场大小为，则核心方程为：

解答：

• 现在有一个无限长、均匀带电、半径为的圆柱体，电荷体密度为。我们想求出圆柱带电体内部、距离轴线(即圆柱的中心线)为的处的电场()。我们过该点，做高度为的同轴圆柱。设该点电场大小为，则核心方程为：

解答：

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