平衡二叉搜索树(AVL)——【C++实现插入、删除等操作】

本章完整代码gitee地址：平衡二叉搜索树

0. 前言

C++的map和set这两个容器的底层就搜索树，关于搜索树，之前此篇文章讲过：数据结构——二叉搜索树，但它可能会出现极端情况：退化为链表

所以再次基础上，就要将这颗树变为平衡的二叉搜索树——ALV树、红黑树，本章讲解的是AVL树

1. AVL树概念

AVL树俄罗斯的两位数学家G.M.Adlson-Velskii和E.M.Landis在1962年发表的论文《An algorithm for the organization of information》公开了这种结构：向二叉树插入一个新节点后，保证每个左右子树的高度之差绝对值不超过1，即可降低树的高度，减少平均搜索的长度。

将左子树减去右子树的深度的值，成为平衡因子BF（Balance Factor），由于绝对值不超过1，则平衡因子的范围是**[-1,1]**，如果超过，就说明目前这棵树不是平衡的，需要进行调整

由于树的左右子树是平衡的，所以要对这棵树操作的时候，最多进行高度次操作：O(lonN)

满二叉树：2^h-1 = N

AVL树：2^h - X = N（X的范围为[1，2^h-1-1]），属于O(lonN)，这个量级

2. 实现AVL树

2.1 结构定义

//定义成kv结构
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;
	//三叉链
	AVLTreeNode<K, V>* _left;	//左节点
	AVLTreeNode<K, V>* _right;	//右节点
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;	//父亲节点
	int _bf;	//平衡因子

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		,_bf(0)
	{}
};

template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;

public:
	//功能
private：
}

2.2 插入

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
    if (_root == nullptr)
    {
        _root = new Node(kv);
        return true;
    }
    Node* parent = nullptr;
    Node* cur = _root;
    while (cur)
    {
        if (cur->_kv.first < kv.first)
        {
            parent = cur;
            cur = cur->_right;
        }
        else if (cur->_kv.first > kv.first)
        {
            parent = cur;
            cur = cur->_left;
        }
        else
        {
            return false;
        }
    }

    //链接
    cur = new Node(kv);
    if (parent->_kv.first > kv.first)
    {
        parent->_left = cur;
    }
    else
    {
        parent->_right = cur;
    }
    cur->_parent = parent;

    //检查
    while (parent)
    {
        //更新平衡因子
        if (cur == parent->_left)
        {
            parent->_bf--;
        }
        else
        {
            parent->_bf++;
        }

        //判断
        if (parent->_bf == 0)
        {
            //很健康，直接跳出
            break;
        }
        else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
        {
            //小问题，无大碍
            //继续往上更新
            //cur = parent;
            parent = parent->_parent;
            cur = cur->_parent;
        }
        else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
        {
            //“生病”了
            if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)	//单纯右高 -- 左单旋
            {
                RotateL(parent);
            }
            else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)	//单纯左高 -- 右单旋
            {
                RotateR(parent);
            }
            else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)	//右子树高，插入点在右子树的左子树引发 -- 右左双旋	
            {
                RotateRL(parent);
            }
            else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)	//左子树高，插入点在左子树的右子树引发	-- 左右双旋
            {
                RotateLR(parent);
            }
            else
            {
                assert(false);
            }

            break;
        }
        else
        {
            //防止写的代码有bug
            assert(false);
        }
    }
    return true;
}

我们设平衡因子为：右子树-左子树

1. 新增左节点，parent平衡因子减一

2. 新增右节点，parent平衡因子加一

3. 更新后的parent平衡因子 == 0 ，说明parent所在子树高度不变，无需继续更新祖先节点

   更新后的parent平衡因子 == 1 或- 1，说明parent所在子树高度发生变化，影响祖先，需要继续更新祖先节点

4. 更新后的parent平衡因子 == 2 或 -2，说明parent所在子树高度发生变化，且不平衡，需要对parent对所在子树进行旋转，让其平衡

这里的平衡因子起到一个检测作用，查看这棵树是否“生病”，如果发现“生病”，立即“治疗”，所以不可能出现大于2的绝对值的平衡因子

左单旋

单纯右边高，采用左单旋进行调整，具体情况如图：

核心操作：

1. `parent->right = cur->left;``
2. ``cur->left = parent;`

左单旋实现：

//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
    Node* cur = parent->_right;
    Node* curleft = cur->_left;

    parent->_right = curleft;
    if (curleft)
    {
        curleft->_parent = parent;
    }
    cur->_left = parent;
    Node* ppnode = parent->_parent;
    parent->_parent = cur;

    if (parent == _root)
    {
        _root = cur;
        cur->_parent = nullptr;
    }
    else
    {
        if (ppnode->_left == parent)
        {
            ppnode->_left = cur;
        }
        else
        {
            ppnode->_right = cur;
        }
        cur->_parent = ppnode;
    }
    parent->_bf = cur->_bf = 0;
}

动态示例：

右单旋

单纯的左边高，采用右单旋进行调整，具体情况如图：

核心操作：

1. parent->left = cur->right;
2. cur->right = parent;

右单旋实现：

//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
    Node* cur = parent->_left;
    Node* curRight = cur->_right;

    parent->_left = cur->_right;
    //防止curRight为空
    if (curRight)
    {
        curRight->_parent = parent;
    }

    cur->_right = parent;
    //保存父亲的父亲节点
    Node* ppnode = parent->_parent;
    parent->_parent = cur;

    if (parent == _root)	
    {
        _root = cur;
        cur->_parent = nullptr;
    }
    else
    {
        if (ppnode->_left == parent)
        {
            ppnode->_left = cur;
        }
        else
        {
            ppnode->_right = cur;
        }
        cur->parent = ppnode;
    }
    //更新平衡因子
    parent->_bf = cur->_bf = 0;
}

动图示例：

左右双旋

新插入节点在较高左子树的右侧，采用右左双旋，具体情况如图：

平衡因子更新需要看cur->right的平衡因子情况：

1. curRight == 0，它就是插入节点，全部更新为0
2. curRight == 1，c插入，cur->_bf = -1，parent->_bf = 0
3. curRight == -1，b插入，cur->_bf = 0，·parent->_bf = 1`

核心操作：

1. 以parent->left为旋转点左旋
2. 以parent为旋转点右旋
3. 根据curRight->_bf调整平衡因子

右左双旋

新插入节点在较高右子树的左侧，采用右左双旋，具体情况如图：

这里平衡因子的更新，不能和单旋一样直接更新为0，要分情况，我们这里主要是看cur->left的平衡因子

1. curLeft->_bf == 0，则它就是插入节点，平衡因子全部更新为0
2. curLeft->_bf == 1，c插入，cur->_bf = 0，parent->_bf = -1
3. curLeft->_bf == -1,b插入，cur->_bf = 1，parent->_bf = 0

核心操作：

1. 以为parent->right为旋转点右旋
2. 以parent为旋转点左旋
3. 根据curLeft->_bf更新平衡因子

右左双旋代码实现：

	//右左双旋
	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* cur = parent->_right;
		Node* curLeft = cur->_left;
		int bf = curLeft->_bf;
        
		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		if (bf == 0)
		{
			//curLeft为新增节点
			cur->_bf = 0;
			curLeft->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			//curLeft右子树插入
			cur->_bf = 0;
			curLeft->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			//curLeft左子树插入
			cur->_bf = 1;
			curLeft->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

动图示例：

2.3 查找

//查找
Node* Find(const K& key)
{
    return _Find(_root, key);
}

因为_root是私有成员，外部无法使用，所以我们设置一个子函数

Node* _Find(Node* root, const K& key)
{
    if (root == nullptr || root->_kv.first == key)
        return root;

    if (root->_kv.first > key)
        return _Find(root->_left, key);
    else
        return _Find(root->_right, key);
}

2.4 删除

删除操作就不多说了，注释写的特别清楚

基本思路就是：

1. 删除元素
2. 更新平衡因子

与插入类似，但细节还是很多

//删除
bool Erase(const K& key)
{
    return _Erase(key);
}

子函数：

bool _Erase(const K& key)
{
    Node* parent = nullptr;
    Node* cur = _root;
    //查找元素
    while (cur)
    {
        if (cur->_kv.first > key)
        {
            parent = cur;
            cur = cur->_left;
        }
        else if (cur->_kv.first < key)
        {
            parent = cur;
            cur = cur->_right;
        }
        else
            break;
    }
    //该元素不存在
    if (cur == nullptr)
        return false;
    //删除元素

    //1.左右子树都为空
    if (cur->_left == nullptr && cur->_right == nullptr)
    {
        //根节点直接删除退出
        if (cur == _root)
        {
            delete _root;
            _root = nullptr;
            return true;
        }
        if (cur == parent->_left)
        {
            //删除的是左孩子
            parent->_bf++;
            parent->_left = nullptr;
        }
        else
        {
            //删除的是右孩子
            parent->_bf--;
            parent->_right = nullptr;
        }
        delete cur;
        cur = parent;
    }
    else if (cur->_left == nullptr)	//左子树为空
    {
        if (cur == _root)
        {
            _root = cur->_right;
            cur->_right->_parent = nullptr;
            delete cur;
            cur = nullptr;

            return true;
        }
        //因为是平衡二叉树，如果左子树为空，那么右子树至多只有一个节点
        //这里前面已经判断了双空的情况，那么肯定右子树只有一个节点,直接删除即可
        Node* curRight = cur->_right;

        //替换元素
        cur->_kv.first = curRight->_kv.first;
        cur->_kv.second = curRight->_kv.second;

        //删除节点
        cur->_right = nullptr;
        delete curRight;
        curRight = nullptr;
        //删右孩子，父节点平衡因子-1
        cur->_bf--;
    }
    else if (cur->_right == nullptr)	//右子树为空
    {
        if (cur == _root)
        {
            _root = cur->_left;
            cur->_left->_parent = nullptr;
            delete cur;
            cur = nullptr;
            return true;
        }
        //与左子树为空同理
        Node* curLeft = cur->_left;

        //替换元素
        cur->_kv.first = curLeft->_kv.first;
        cur->_kv.second = curLeft->_kv.second;

        //删除节点
        cur->_left = nullptr;
        delete curLeft;
        curLeft = nullptr;
        //删除左孩子，父节点平衡因子+1
        cur->_bf++;
    }
    else
    {
        //左右子树都不为空
        //以左子树最大元素为例
        parent = cur;	//前驱
        Node* prev = cur->_left;	//找左子树最大元素
        while (prev->_right)
        {
            parent = prev;
            prev = prev->_right;
        }
        //替换元素
        cur->_kv.first = prev->_kv.first;
        cur->_kv.second = prev->_kv.second;

        //右边肯定没有元素了，因为找的就是最大的元素：左子树里面的最右边
        if (parent->_left == prev)
        {
            parent->_left = prev->_left;	
            parent->_bf++;
        }
        else
        {
            parent->_right = prev->_left;
            parent->_bf--;
        }
        delete prev;
        prev = nullptr;
        //指向删除节点父亲
        cur = parent;
    }

    parent = cur->_parent;

    //重新找调整位置
    if (cur->_bf == -2 || cur->_bf == 2)
    {
        if (cur->_bf == -2)
        {
            Node* curLeft = cur->_left;
            parent = cur;
            cur = curLeft;
        }
        else
        {
            Node* curRight = cur->_right;
            parent = cur;
            cur = curRight;
        }
    }

    //if (cur->_bf == 0 && parent != nullptr && abs(parent->_bf) == 2)
    //{
    //	if (cur = parent->_left)
    //		cur = parent->_right;
    //	else
    //		cur = parent->_left;
    //}

    while (parent)
    {
        //更新父亲的平衡因子
        parent->_bf = UpdateBf(parent);

        if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
        {
            //“生病”了
            if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)	//单纯右高 -- 左单旋
            {
                RotateL(parent);
            }
            else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)	//单纯左高 -- 右单旋
            {
                RotateR(parent);
            }
            else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)	//右子树高，插入点在右子树的左子树引发 -- 右左双旋	
            {
                RotateRL(parent);
            }
            else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)	//左子树高，插入点在左子树的右子树引发	-- 左右双旋
            {
                RotateLR(parent);
            }
            else if (parent->_bf == 2)
            {
                //cur->_bf == 0时
                RotateL(parent);
                //再更新一次
                parent->_bf = UpdateBf(parent);
            }
            else if (parent->_bf == -2)
            {
                RotateR(parent);
                parent->_bf = UpdateBf(parent);
            }
            else
            {
                assert(false);
            }
        }

        cur = parent;
        parent = cur->_parent;
    }
    return true;
}
int UpdateBf(Node* root)
{
    if (!root)
        return 0;
    int leftH = _Height(root->_left);
    int rightH = _Height(root->_right);
    return rightH - leftH;
}

2.5 树的高度

int _Height(Node* root)
{
    if (root == nullptr)
        return 0;

    //记录深度
    int leftH = _Height(root->_left);
    int rightH = _Height(root->_right);

    //记录更深的那一个
    return std::max(leftH, rightH) + 1;
}

2.6 是否为平衡树

bool _IsAVLTree(Node* root)
{
    //空树符合AVL树
    if (root == nullptr)
        return true;

    //左子树的高度
    int leftH = _Height(root->_left);
    //右子树高度
    int rightH = _Height(root->_right);

    //看平衡因子是否符合
    int bf = rightH - leftH;

    if (bf != root->_bf)
        return false;

    //平衡因子绝对值不大于
    //在一次递归左右子树
    return abs(bf) < 2 && _IsAVLTree(root->_left) && _IsAVLTree(root->_right);	
}

2.7 遍历（中序）

void _InOrder(Node* root)
{
    if (root == nullptr)
        return;

    _InOrder(root->_left);
    cout << root->_kv.first << " ";
    _InOrder(root->_right);
}

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那本次分享就到这里咯，AVL树主要是重点了解其中是如何变平衡的（各种旋转），在实际中，我们只有使用C++里面的map和set（底层是红黑树）。

我们下期再见咯，如果还有下期的话。

Tips：
如果代码有bug，希望大家能指出来，看了网上好多的都有bug
不知道这个有没有bug，我测了一些数据，目前没发现bug