最大公共子序列(LCS)

子序列

子序列不要求字符连续(这与串不同)

公共子序列

两个字符串中的相同的子序列

1. 最大公共子序列的例子
   字符串 X = sjdbfsb
   字符串 Y = sdfsdf
   LCS(X,Y) = sdf

算法

一些性质

字符串 最大公共子序列的长度

 LCS[i][j]

则

1. 如果, 即两个字符串的最后一个字符相同, 这个字符一定属于LCS.所以

if(x[i] == y[j])
LCS[i][j] = LCS[i - 1][j - 1] + 1

2. 如果, 则产生两个问题 LCS(x,y,i,j-1),LCS(x,y,i-1,j),因为要求最大的子序列长度,取两者中较大的一个
3. 如果i或j等于0,结果是0

代码

int* LCS = new int[i * j];
for(int m = 0; m < j; m++)
{
  LCS[j] = 0;
}
for(int m = 0; m < i; m++)
{
  LCS[m * i] = 0;
} 
for(int m = 1; m < i; m++)
{
  for(int n = 1; n < j; n++)
  {
    if(x[i] == y[j]
      LCS[m * j + n] = LCS[(m - 1) * j + n-1] + 1;
    else
      LCS[m * j + n] = max(LCS[(m - 1) * j + n], LCS[m * j + n - 1]);
  }
}

动态规划从底向上, 每个子问题只解决一次, 如果需要解决过的结果只需要 "查表", 比普通递归需要更多的空间