Havel定理

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中文名

Havel定理

外文名

Canisters theorem

特    点

非负整数序列{dn}

实    质

无向图使得图中各点的度

给定一个非负整数序列{dn}，若存在一个无向图使得图中各点的度与此序列一一对应，则称此序列可图化。进一步，若图为简单图，则称此序列可简单图化

可图化的判定：d1+d2+……dn=0（mod 2）。关于具体图的构造，我们可以简单地把奇数度的点配对，剩下的全部搞成自环。

可简单图化的判定（Havel定理）：把序列排成不增序，即d1>=d2>=……>=dn，则d 可简单图化当且仅当d’={d2-1，d3-1，……d(d1+1)-1， d(d1+2)，d(d1+3)，……dn}可简单图化。简单的说，把d排序后，找出度最大的点（设度为d1），把它与度次大的d1个点之间连边，然后这 个点就可以不管了，一直继续这个过程，直到建出完整的图，或出现负度等明显不合理的情况。

定理的证明：略

 

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然后贴一个实现的代码

 1 #define REP(i, n) for(int i=0; i<n; i++)

 2 pair<int, int> e1[maxm], e2[maxm];

 3 struct Node

 4 {

 5     int d, id;

 6     bool operator < (const Node& rhs) const

 7     {

 8         return d > rhs.d;

 9     }

10 } p[2][maxn];

11 

12 

13 bool solve(Node *p, pair<int, int> *e)

14 {

15     int cnt = 0;

16     REP(i, n-1)

17     {

18         sort(p+i, p+n);

19         if(p[i].d+i > n-1) return false;

20         for(int j=i+1; j <= p[i].d+i; j++)

21         {

22             if(--p[j].d < 0) return false;

23             e[cnt++] = make_pair(p[i].id+1, p[j].id+1); // 加边

24         }

25     }

26     return p[n-1].d == 0;

27 }