codeforces 100548F （西安现场赛F题）:容斥原理

题目大意：

对n个排成一排的物品涂色，有m种颜色可选。

要求相邻的物品颜色不相同，且总共恰好有K种颜色，问所有可行的方案数

分析：

从m种颜色中选出k种，有c(m,k)种方法，那么我们只用考虑 k种颜色的涂法即可

显然第一个物品有k种涂法，后面的因为不能跟前面的相同都只有k-1种涂法

因此容易想到一个公式：k*(k-1)^(n-1)

但是这个公式算的是 不超过k种颜色的涂法，题目要求必须k种，怎么办呢？

先考虑一个简化版的问题：

用而且用完5种颜色涂不相关的五个物品的方案数

用阶乘的方法可以算出 ans=120，换一种思路呢想一想这个问题，容易想到

ans（取五种颜色）=5^5（取不大于5种颜色）-c(5,4)*4^5（取不大于4种颜色）

可是一算发现ans竟然小于0了，这是怎么回事呢？容易发现其实取小于四种颜色的方案被减重复了

于是想到需要容斥

ans=c(5,5)*5^5-c(5,4)*4^5+c(5,3)*3^5-c(5,2)*2^5+c(5,1)*1^5 =120

这个问题解决了。原问题也就差不多了。。

代码：

#include <iostream>

#include <stdio.h>

#include<string.h>

#include<algorithm>

#include<string>

#include<ctype.h>

using namespace std;

const long long mod=1000000007;

const long long ny=500000004;

long long n,m,k;

long long cm[1000010];

long long cn[1000010];

long long ck[1000010];

long long inv[1000010];

long long mo(long long x)

{

    while(x<0)

        x+=mod;

    return x%mod;

}

long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)

{

    if(a==0&&b==0) return -1;

    if(b==0){x=1;y=0;return a;}

    long long d=exgcd(b,a%b,y,x);

    y-=a/b*x;

    return d;

}

long long Inv(long long a,long long n)

{

    long long x,y;

    long long d=exgcd(a,n,x,y);

    if(d==1) return (x%n+n)%n;

    else return -1;

}

long long quickmod(long long a,long long b,long long m) //a^b%m

{

    long long res=1;

    while(b)

    {

        if(b&1)

            res=res*a%mod;

        b>>=1;

        a=a*a%mod;

    }

    return res;

}

void ini()

{

    cn[0]=cm[0]=1;

    memset(cm,0,sizeof(cm));

    cm[0]=1;

    int tmp=min(m/2,k);

    for(int i=1;i<=tmp;i++)

    {

        cm[i]=(cm[i-1]*(m+1-i)%mod*inv[i])%mod;

    }

    if(cm[k]==0)

        cm[k]=cm[m-k];

    ck[0]=ck[k]=1;

    for(int i=1;i<=k/2;i++)

    {

        ck[i]=(ck[i-1]*(k+1-i)%mod*inv[i])%mod;

        ck[k-i]=ck[i];

    }

}

int main()

{

    //freopen("in.txt","r",stdin);

    //freopen("out.txt","w",stdout);

    inv[1]=1;

    for(int i=2;i<=1000000;i++)

    {

        inv[i]=Inv(i,mod);

    }

    int t;

    scanf("%d",&t);

    int cas=0;

    while(t--)

    {

        cas++;

        scanf("%I64d%I64d %I64d",&n,&m,&k);

        ini();

        long long ans=0;

        long long p=1;

        for(int i=k;i>=1;i--)

        {

            ans=(ans+p*((ck[k-i])*i%mod*quickmod(i-1,n-1,mod)%mod)+mod)%mod;

            p=-p;

        }

        ans=(ans*cm[k])%mod;

        printf("Case #%d:%c%I64d\n",cas,' ',ans);

    }

    return 0;

}