【3维视觉】网格的拉普拉斯坐标及其应用

拉普拉斯坐标

在计算网格的拉普拉斯坐标时，可以使用以下公式：

对于一个具有 $N$ 个顶点的网格，假设每个顶点的坐标为 $(x_i,y_i,z_i)$，其中 $i=1,2,\dots ,N$。

拉普拉斯坐标 $L_i$ 表示第 $i$ 个顶点的坐标与其相邻顶点坐标的差的加权平均。

常用的计算公式如下：

$$L_i=\frac{1}{m}\sum _{j=1}^m{w}_{ij}(v_i-v_j)$$

其中：

• $L_i$ 是第 $i$ 个顶点的拉普拉斯坐标。
• $m$ 是第 $i$ 个顶点的相邻顶点数。
• $v_i=(x_i,y_i,z_i)$ 是第 $i$ 个顶点的坐标。
• $v_j=(x_j,y_j,z_j)$ 是第 $i$ 个顶点的第 $j$ 个相邻顶点的坐标。
• $w_{ij}$ 是权重，表示第 $i$ 个顶点和第 $j$ 个相邻顶点之间的连接强度。常见的权重计算方法包括均匀权重、距离权重等。

更一般的公式

使用均匀权重
$$L_i=\frac{1}{m}\sum _{j=1}^m(v_i-v_j)$$
换一种方式写：

$$L_i=v_i-\frac{1}{m}\sum _{j=1}^m{v}_j$$

也就是说顶点的拉普拉斯坐标是顶点坐标与其邻居坐标平均值的差

需要注意的是，拉普拉斯坐标是一种描述网格结构和形状的特征，用于分析网格的平滑性、形变等性质。它在计算机图形学、计算机视觉等领域有广泛的应用。具体的权重计算方法和应用场景可能会有所不同，可以根据具体需求选择适合的方法。

应用场景

在物理学和计算机图形学中，顶点的拉普拉斯坐标具有多种重要的物理意义和应用。以下是其中几个常见的物理意义：

1. 形状分析和特征提取：拉普拉斯坐标可以用于描述三维形状的局部几何特征。通过计算顶点的拉普拉斯坐标，可以得到顶点周围的几何结构信息，例如曲率、表面法线等。这些信息对于形状分析、特征提取和模型比较非常有用。

2. 模型平滑和去噪：拉普拉斯坐标可以用于模型的平滑和去噪。通过对顶点的拉普拉斯坐标进行平滑操作，可以减少形状中的高频噪声，并保持形状的整体结构。这在计算机图形学中的渲染和建模中经常使用。

3. 形状变形和动画：拉普拉斯坐标在形状变形和动画中也扮演着重要的角色。通过对顶点的拉普拉斯坐标进行变形，可以实现形状的局部或整体的变形效果。这在计算机动画、虚拟现实和游戏开发中非常常见。

4. 模型编辑和重建：利用拉普拉斯坐标，可以进行模型的编辑和重建。通过修改顶点的拉普拉斯坐标，可以实现模型的形状编辑，例如拉伸、压缩、扭曲等操作。同时，拉普拉斯坐标还可以用于重建三维形状，例如通过曲面重建算法从点云数据中还原出具有连续性和光滑性的三维模型。

总之，顶点的拉普拉斯坐标在三维形状的分析、处理和编辑中具有广泛的应用，能够提供形状的几何特征信息，并支持各种形状操作和应用，包括形状分析、模型平滑、形状变形、模型编辑等。

文章

Differential Coordinates for Interactive Mesh Editing

拉普拉斯曲面编辑（原始论文）

软件

Blender拉普拉斯形变修改器

Blender拉普拉斯平滑修改器

尝试

Laplacian filter拉普拉斯滤波

原始网格	网格的拉普拉斯坐标可视化	（平滑）原始网格坐标-拉普拉斯坐标	（锐化）原始网格坐标+拉普拉斯坐标