目录
70. 爬楼梯 (进阶)
思路
爬楼梯
1或2步爬楼梯
多步爬楼梯
322. 零钱兑换
思考
1、确定dp数组及其含义
2、确定递推公式
3、初始化dp数组
4、确定遍历顺序
零钱兑换
先遍历物品,再遍历背包
先遍历背包,再遍历物品
279.完全平方数
思路
完全平方数
创建完全平方和数组,套用公式
将完全平方和融入到公式中
139.单词拆分
思路
1、确定dp数组的含义
2、确定递推公式
3、dp数组如何初始化
4、确定遍历顺序
5、打印dp数组
单词拆分
题目链接:力扣
在使用动态规划解决爬楼梯问题的时候,从到达一个台阶有多少种方式入手,使用动态规划是可以很好的解决
学了完全背包后,可以从另一个角度分析这道题目
物品:每次可以爬1个台阶、每次可以爬2个台阶
拿取:可以重复拿取步数
背包:n阶台阶数
求值:求的是有多少种方法爬到楼顶(排列数)
这样看起来,这个题目的内容就和求排列数一样了
和 377. 组合总和Ⅳ 一样了
求排列数的注意内容:
1、初始化dp[0] = 1
2、遍历时,先遍历背包,再遍历物品
3、递推公式为 dp[j] = dp[j-weigth[i]]
// 创建步数数组
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
// 物品数组
int[] nums = new int[]{1,2};
// 创建dp数组
int[] dp = new int[n+1];
// 初始化dp数组
dp[0] = 1;
// 填充dp数组
for (int j = 1; j <= n; j++) {
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
if (j >= nums[i]) {
dp[j] += dp[j-nums[i]];
}
}
}
return dp[n];
}
}
// 不创建步数数组
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
// 创建dp数组
int[] dp = new int[n+1];
// 初始化dp数组
dp[0] = 1;
// 填充dp数组
for (int j = 1; j <= n; j++) {
for (int i = 1; i <= 2; i++) {
if (j >= i) {
dp[j] += dp[j-i];
}
}
}
return dp[n];
}
}
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
// 创建dp数组
int[] dp = new int[n+1];
// 初始化dp数组
dp[0] = 1;
// 填充dp数组
for (int j = 1; j <= n; j++) { // 遍历背包
for (int i = 1; i <= m; i++) { // 遍历步数,步数是从1开始的
if (j >= i) {
dp[j] += dp[j-i];
}
}
}
return dp[n];
}
}
题目链接:力扣
虽然已经做了几天的动态规划,但是每次再拿到动态规划的题目的时候思路还不是很清楚,主要就是如何定义dp[]数组,定义了dp[]数组之后怎么确定递推公式,确定了递推公式之后怎么对数组进行初始化,初始化之后使用那种遍历顺序
目前来说,定义dp[]数组,基本上都是题目要求什么就定义什么。主要有三类:
1、纯求背包中物品的价值:
这种就是一般的背包问题,是比较简单的一种
递推公式一般是:dp[ j ] = max(dp[ j ],dp[ j - weigth[ i ] ] + value[ i ]);
2、求物品装满背包的方法数
这种dp[]数组就是方法数,如果是完全背包,还可能牵扯组合数和排列数
递归公式一般是:dp[ j ] += dp[ j - weight[ i ] ]
由于方法数是逐步积累的,所以初始化应该是dp[ 0 ] = 1
3、求装满背包时,背包中的物品数
这种dp[]数组求得是最终背包中的物品个数
递推公式一般与dp[ j - weight[ i ] ] + 1 ) 有关
如果是求最大个数:就是dp[ j ] = max(dp[ j ],dp[ j - weight[ i ] ] + 1 );由于是求最大值,初始化时dp[0] = 0,其余的也为0。对应的题目有 474.一和零
如果是求最小个数:就是dp[ j ] = min(dp[ j ],dp[ j - weight[ i ] ] + 1 );由于是求最小值,初始化时dp[0] = 0,其余的为MAX_VALUE。对应的题目有 322.零钱兑换
下面对本题目进行动态五部曲的分析:
题目求什么,就定义什么。题目要求的内容:计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数
dp[ j ]: 凑成总金额为 j 所需要硬币的最小个数
确定好递推公式后,发现这是上面总结的第三类问题,是求背包中的物品个数,也就是和dp[ j - coins[ i ] ] + 1 ) 有关
如果说添加了当前物品(coins[i]),那么这个背包中的物品就需要进行添加,背包中的物品个数就是 dp[ j - coins[i] ] + 1
如果说没有添加当前物品(coins[i]), 那么这个背包中的物品中的个数就不需要进行改变,背包中物品的个数就是 dp[ j ]
所以说dp[ j ] = min(dp[ j ],dp[ j - coins[ i ] ] + 1 )
凑足总金额为0 所需要硬币的个数一定是0,所以dp[0] = 0
其余的下标的元素必须初始化为一个最大值,否则 min(dp[ j ],dp[ j - coins[ i ] ] + 1 ) 计算出的值就被初始化的值覆盖掉了
不强调组合和排列,先遍历背包或者先遍历物品都是可以的
class Solution {
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
// 创建dp数组
int[] dp = new int[amount + 1];
// 初始化dp数组
dp[0] = 0;
for (int i = 1; i <= amount; i++) {
dp[i] = Integer.MAX_VALUE;
}
// 遍历更新dp数组
for (int i = 0; i < coins.length; i++) { // 先遍历物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 再遍历背包
if (dp[j-coins[i]] != Integer.MAX_VALUE) {
dp[j] = Math.min(dp[j],dp[j-coins[i]] + 1);
}
}
}
return dp[amount] == Integer.MAX_VALUE ? -1 : dp[amount];
}
}
class Solution {
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
// 创建dp数组
int[] dp = new int[amount + 1];
// 初始化dp数组
dp[0] = 0;
for (int i = 1; i <= amount; i++) {
dp[i] = Integer.MAX_VALUE;
}
// 遍历更新dp数组
for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 再遍历背包
for (int i = 0; i < coins.length; i++) { // 先遍历物品
if (j - coins[i] >=0 && dp[j-coins[i]] != Integer.MAX_VALUE) {
dp[j] = Math.min(dp[j],dp[j-coins[i]] + 1);
}
}
}
return dp[amount] == Integer.MAX_VALUE ? -1 : dp[amount];
}
}
题目链接:力扣
这道题和上面322.零钱兑换是一样的,只不过这道题目的物品数组没有明给,需要自己创建,说着直接套用到公式中
class Solution {
public int numSquares(int n) {
// 首先要根据背包创建完全平方和数组
// 对 n 进行开平方
double lens = Math.sqrt(n);
// 对开方出来的数组进行向上取整
int len = (int)Math.ceil(lens);
// 创建物品数组
int[] nums = new int[len + 1]; // 遍历的时候从下标1开始
for (int i = 0; i <= len; i++) {
nums[i] = i * i;
}
// 创建dp数组
int[] dp = new int[n + 1];
// 初始化dp数组
dp[0] = 0; // 和为0的完全平方数的最少数量是0
for (int i = 1; i <= n; i++) {
dp[i] = Integer.MAX_VALUE; //设置最大值,避免被覆盖
}
// 遍历更新dp数组
for (int i = 1; i <= len; i++) {
for (int j = nums[i]; j <= n; j++) {
if (dp[j-nums[i]] != Integer.MAX_VALUE) {
dp[j] = Math.min(dp[j],dp[j-nums[i]] + 1);
}
}
}
return dp[n];
}
}
class Solution {
public int numSquares(int n) {
// 创建dp数组
int[] dp = new int[n + 1];
// 初始化dp数组
dp[0] = 0; // 和为0的完全平方数的最少数量是0
for (int i = 1; i <= n; i++) {
dp[i] = Integer.MAX_VALUE; //设置最大值,避免被覆盖
}
// 遍历更新dp数组
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = i*i; j <= n; j++) {
if (dp[j-i*i] != Integer.MAX_VALUE) {
dp[j] = Math.min(dp[j],dp[j-i*i] + 1);
}
}
}
return dp[n];
}
}
题目链接:力扣
比较直接的想法就是使用回溯法不断去组合字符串,比较组合出来的字符串是否与目标字符串相同,显然,回溯这种枚举的方法有很多无效功
将目标字符串看成背包,将集合中的单词看成物品,集合中的单词能不能组成目标字符串,就是问物品能不能把背包装满。集合中的字符串是可以重复使用的,说明这是一个完全背包问题
dp[i]:字符串长度为i的话,dp[i]为true,表示可以拆分为一个或多个在字典中出现的单词
i 是在遍历目标字符串
j 是每次从0开始遍历目标字符串
对于leetcode, i 遍历到4的时候,j 再对字符串从0遍历,判断s.substring(0,4) -- “leet”在 集合中是存在的,并且dp[0]是为true的,所以此时 下标4 位置上就可以设置为 true,代表leet 是存在在集合中的
下一次,i遍历到8的时候,j 再对字符串从0开始遍历,遍历到 j = 4的时候,判断s.substring(4,8) --"code" 在集合中是存在的,并且dp[4]是为true的,所以此时下标8位置上就可以设置成true,代表 code是存在在集合中的
其实本质上就是使用 true 对字符串进行了分割,如果分割到最后也是true,那就说明这个字符串是可以由集合中的元素组成的
所以判断该元素在集合中存在的条件是 set.contains(s.substring(j,i)) && dp[j]
从递归公式中可以看出,dp[i] 的状态依靠 dp[j]是否为true,那么dp[0]就是递归的根基,dp[0]一定要为true,否则递归下去后面都都是false了
本题使用外层for循环遍历物品,内层for遍历背包或者外层for遍历背包,内层for循环遍历物品都是可以的
但本题还有特殊性,因为是要求子串,最好是遍历背包放在外循环,将遍历物品放在内循环
class Solution {
public boolean wordBreak(String s, List wordDict) {
HashSet set = new HashSet<>(wordDict);
// 创建dp数组
boolean[] dp = new boolean[s.length() + 1];
// 初始化dp数组
dp[0] = true;
// 遍历填充dp数组
for (int i = 1; i <= s.length(); i++) {
for (int j = 0; j < i && !dp[i]; j++) {
if (set.contains(s.substring(j,i)) && dp[j]) {
dp[i] = true;
}
}
}
return dp[s.length()];
}
}