高中奥数 2022-01-01

2022-01-01-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 第二数学归纳法 P011 例6）

设,函数满足:对,都有.证明:存在一个正整数数列,使得,且.

证明

对运用数学归纳法.

当时,命题显然成立.

现设命题对都成立,考察的情形.

对,我们用表示满足下述条件的最大正整数:

存在正整数数列,使得

如果命题对不成立,那么由可知,对任意都有.记,,则任意两个不交,且,所以.

下面先证明:对任意,都有.

事实上,若存在,使得,则存在,使得,这里.这时,对任意,都应有(否则,若,则在从出发的递增f数列的前面加入,将导致,矛盾),故,进而,结合,得.

现在,由的定义知,存在,使得,而由归纳假设可知,在中存在,使得,再结合,可知,并且,这与时命题不成立的假设矛盾.所以.

但这时,将导致

矛盾.所以,命题对成立.

综上可知,命题获证.

说明

这里在证命题对成立时,采用的是反证法,在运用数学归纳法证明问题时应充分地与其他证明方法结合.