最近公共祖先 (LCA) 模板

定义

在树中两个节点的最近公共祖先为：两个点的公共祖先里面离根最远的那个。

查询次数较少的情况

可以通过两次 $dfs$ 解决：第一次 $dfs$ 将根节点到其中一个节点的路径上的节点染色，第一次 $dfs$ 遍历到的最后一个染色节点即为最近公共祖先，时间复杂度为$O(n)$。

查询次数较多的情况

可以通过一遍 $dfs$ 预处理求出各节点 $i$ 所在的层数 $h[i]$，和倍增数组 $par$ : $par[i][j]$ 为与 $i$ 距离为 $2^j$ 的祖先节点。然后设查询的两个节点为 $u$ 和 $v$，设 $h[u]\ge [v]$ ，若$h[u]>h[v]$ 则先将 $u$ 上移至和 $v$ 同一层。之后 $u$ 和 $v$ 处于同一层， 此时若 $u$ 和 $v$ 为同一节点，则 $v$ 即为最近公共祖先；否则将 $u$ 和 $v$ 同时尽可能地上移且保证移动后的 $u$ 和 $v$ 为不同的节点，无法移动之后 $u$ 和 $v$ 的父节点即为最近公共祖先。预处理的时间复杂度为$O(n\text{log}n)$，单次查询的时间复杂度为$O(\text{log}n)$。求 $lca$ 的代码如下：

int lca(int p, int q) {//这里用整数代表节点，若存在相同值的节点则用节点指针
    if (h[p] < h[q])
        swap(p, q);
    for (int dis = h[p] - h[q], i = 0; dis; i++, dis >>= 1)
        if (dis & 1)
            p = par[p][i];
    if (p == q)
        return p;
    for (int i = i0; i >= 0; i--)// i的初值i0可设为ceil(logn)
        if (par[p][i] != par[q][i]) {
            p = par[p][i];
            q = par[q][i];
        }
    return par[p][0];
}

完整的例子包括生成倍增数组等操作可以参考 二叉树的最近公共祖先 这道题的倍增做法：

class Solution {
public:
    TreeNode *lowestCommonAncestor(TreeNode *root, TreeNode *p, TreeNode *q) {
        unordered_map<TreeNode *, vector<TreeNode *>> par;
        unordered_map<TreeNode *, int> h;
        function<void(TreeNode *, TreeNode *, int)> dfs = [&](TreeNode *root, TreeNode *p, int lev) {
            if (!root)
                return;
            h[root] = lev;
            par[root] = vector<TreeNode *>(18);
            par[root][0] = p;
            for (int i = 1; i < 18; i++)
                par[root][i] = par[par[root][i - 1]][i - 1];
            dfs(root->left, root, lev + 1);
            dfs(root->right, root, lev + 1);
        };
        dfs(root, root, 0);
        if (h[p] < h[q])
            swap(p, q);
        for (int dis = h[p] - h[q], i = 0; dis; i++, dis >>= 1)
            if (dis & 1)
                p = par[p][i];
        if (p == q)
            return p;
        for (int i = 17; i >= 0; i--)
            if (par[p][i] != par[q][i]) {
                p = par[p][i];
                q = par[q][i];
            }
        return par[p][0];
    }
};