大数问题

大数是指计算的数值非常大或者对运算的精度要求非常高，用已知的数据类型无法精确表示的数值。

大数问题主要有以下四种：

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1. 大数相加

2. 大数相乘

3. 大数阶乘

4. 大数幂乘

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下面我们一起解决这四种问题。

 

Problem 1 大数相加

一般的int，long等类型无法精确表达数值。

我们就考虑以字符串的形式读入这两个数，利用vector来表示这两个数值，

代码：

 1 string s1, s2;

 2 cin>>s1>>s2;

 3 int i;

 4 vector<int> v1(s1.size()), v2(s2.size());

 5 for(i = 0; i < s1.size(); i++)

 6 {

 7     v1[i] = s1[i] - '0';

 8 }

 9 for(i = 0; i < s2.size(); i++)

10 {

11     v2[i] = s2[i] - '0';

12 }

 

利用vector的空间可以无限扩展，因此我们利用vector来模拟计算这两个数的相加。

根据加法规则我们可以知道，个位与个位相加，十位与十位相加...

代码：

 1 vector<int> f(vector<int> v1, vector<int> v2)

 2 {
　　　　#将两个数字的位置倒过来，个位数字放在最前面，例如：123，倒过来即为321

 3     reverse(v1.begin(),v1.end());

 4     reverse(v2.begin(),v2.end());

 5     int maxsize = v1.size();
　　　　#比较两个数字的位数，找到最长的

 6     if(v2.size() > maxsize)

 7     {

 8         maxsize = v2.size();

 9     }

10     vector<int> v3(maxsize);
　　　　#记录每一位计算的进位

11     int carry = 0;

12     int i;

13     for(int i = 0; i < maxsize; i++)

14     {

15         int t = carry;

16         if(i < v1.size())

17             t = t + v1[i];

18         if(i < v2.size())

19             t = t + v2[i];
　　　　　　#当相同位置上的数字相加超过10时，应该向高位进位

20         carry = t / 10;

21         v3[i] = t % 10; 

22     }
　　　　#若最高位相加之后，需要进位，那么我们需要扩展vector

23     if(carry > 0)

24         v3.push_back(carry);
　　　　#最后将vector倒置，可以得到最终的相加结果

25     reverse(v3.begin(),v3.end());

26     return v3;

27 }

 

Problem 2 大数相乘

例如：

位置： 4　　3　　2　　1　　0

数值1：      　　 4　　3　　2

数值2：     　　  *     4     5

------------------------------------

结果：      　　20    15　 10

　　　　 16 　12　   8

-----------------------------------

　　　　16　 32　　23　 10

-----------------------------------

　　1     9 　  4 　　4　   0

从上面的例子中我们可以看出位置i和位置j的结果放在i+j的位置，最后再依次进行进位操作。

代码：

这里要注意初始结果申请的空间，最后在输出的时候需要进行处理。

 1 vector<int> m(vector<int> v1, vector<int> v2)

 2 {

 3     reverse(v1.begin(),v1.end());

 4     reverse(v2.begin(),v2.end());

 5     int maxsize = v1.size();

 6     if(v2.size() > maxsize)

 7         maxsize = v2.size();

 8     maxsize *= 2;

 9     vector<int> v3(maxsize, 0);

10     int carry = 0;

11     for(int i = 0; i < v1.size(); i++)

12         for(int j = 0; j < v2.size(); j++)

13         {

14             v3[i+j] += v1[i]*v2[j];

15         }

16     for(int i = 0; i < v3.size(); i++)

17     {

18         if(v3[i] >= 10)

19         {

20             v3[i+1] += v3[i]/10;

21             v3[i] = v3[i] % 10;

22         }

23     }

24     reverse(v3.begin(),v3.end());

25     

26     return v3;    

27 }

 输出处理：因为开始申请的空间可能有部分没有用到，但是在倒置的时候最前面可能出现多个0，利用flag记录非0的起点。

代码：

int flag = 0;

while(v4[flag] == 0)

    flag++;

for(i = flag; i < v4.size(); i++)

    cout<<v4[i];

cout<<endl;

 

Problem 3大数阶乘

一般阶乘很快就会超过int的表达范围，因此同样采用上面大数相乘的思想来计算大数阶乘，这里需要注意的是开始输入的n不是一个大数，但是随着计算，结果会越来越大。

 利用循环来计算大数阶乘。

代码：

 1 vector<int> m(vector<int> v1, vector<int> v2)

 2 {

 3     reverse(v1.begin(),v1.end());

 4     reverse(v2.begin(),v2.end());

 5     int maxsize = v1.size();

 6     if(v2.size() > maxsize)

 7         maxsize = v2.size();

 8     maxsize *= 2;

 9     vector<int> v3(maxsize, 0);

10     int carry = 0;

11     for(int i = 0; i < v1.size(); i++)

12         for(int j = 0; j < v2.size(); j++)

13         {

14             v3[i+j] += v1[i]*v2[j];

15         }

16     for(int i = 0; i < v3.size(); i++)

17     {

18         if(v3[i] >= 10)

19         {

20             v3[i+1] += v3[i]/10;

21             v3[i] = v3[i] % 10;

22         }

23     }

24     reverse(v3.begin(),v3.end());

25     

26     return v3;    

27 }

28 

29 vector<int> intTovector(int x)

30 {

31     vector<int> v;

32     while (x)

33     {

34         v.push_back(x%10);

35         x /= 10;

36     }

37     reverse(v.begin(),v.end());

38     return v;

39 }

40 

41 vector<int> pre(vector<int> v)

42 {

43     vector<int> v1;

44     int flag = 0;

45     while(v[flag] == 0)

46         flag++;

47     for(int i = flag; i < v.size(); i++)

48         v1.push_back(v[i]);

49     return v1;

50 }

51 

52 void p(vector<int> v)

53 {

54     for(int j = 0; j < v.size(); j++)

55             cout<<v[j];

56         cout << endl;

57 }

58 

59 vector<int> jiecheng(int n)

60 {

61     vector<int> v1(1,1);

62     if(n == 1)

63         return v1;

64     vector<int> v2(1,2);

65     if(n == 2)

66         return v2;

67     vector<int> v3 = v2;

68     for(int i = 3; i <= n; i++)

69     {

70         vector<int> t1 = intTovector(i);

71         p(t1);

72         vector<int> t2 = v3;

73         p(t2);

74         v3 = pre(m(t1,t2));

75         p(v3);

76         cout << "===============" <<endl;

77     }

78     return v3;

79 }

 

 

Problem 4大数幂乘

一般阶乘很快就会超过int的表达范围，因此同样采用上面大数相乘的思想来循环计算大数阶乘。

代码：

 1 vector<int> micheng(int n, int s)

 2 {

 3     vector<int> v = intTovector(n);

 4     for(int i = 1; i < s; i++)

 5     {

 6         v = pre(m(v,intTovector(n)));

 7         

 8     }

 9     return v;

10 }