Transformer-2. 注意力分数

上一节记录了注意力机制的基础，这一节主要做几个实现，沐神说qkv在不同任务中的角色不一，所以后续内容才会搞懂qkv是啥玩意。

上节使用了高斯核来对查询和键之间的关系建模。 高斯核指数部分可以视为注意力评分函数（attention scoring function）， 简称评分函数（scoring function）， 然后把这个函数的输出结果输入到softmax函数中进行运算。 通过上述步骤，将得到与键对应的值的概率分布（即注意力权重）。 最后，注意力汇聚的输出就是基于这些注意力权重的值的加权和。

从宏观来看，上述算法可以用来实现下图中的注意力机制框架。 下图说明了如何将注意力汇聚的输出计算成为值的加权和， 其中$\alpha$
表示注意力评分函数。 由于注意力权重是概率分布， 因此加权和其本质上是加权平均值。

               图10.3.1 计算注意力汇聚的输出为值的加权和

用数学语言描述, 假设有一个查询 $\mathbf{q}\in {\mathbb{R}}^q$ 和 $m$ 个“键一值”对 $\left({\mathbf{k}}_1,{\mathbf{v}}_1\right),\dots ,\left({\mathbf{k}}_m,{\mathbf{v}}_m\right)$, 其中 ${\mathbf{k}}_i\in {\mathbb{R}}^k$, ${\mathbf{v}}_i\in {\mathbb{R}}^v$ 。 注意力汇聚函数 $f$ 就被表示成值的加权和:
$$f\left(\mathbf{q},\left({\mathbf{k}}_1,{\mathbf{v}}_1\right),\dots ,\left({\mathbf{k}}_m,{\mathbf{v}}_m\right)\right)=\sum _{i=1}^m\alpha \left(\mathbf{q},{\mathbf{k}}_i\right){\mathbf{v}}_i\in {\mathbb{R}}^v,$$
其中查询 $\mathbf{q}$ 和键 ${\mathbf{k}}_i$ 的注意力权重（标量） 是通过注意力评分函数 $a$ 将两个向量映射成标量, 再经过 softmax运算得到的:
$$\alpha \left(\mathbf{q},{\mathbf{k}}_i\right)=\mathrm{softmax}\left(a\left(\mathbf{q},{\mathbf{k}}_i\right)\right)=\frac{\exp \left(a\left(\mathbf{q},{\mathbf{k}}_i\right)\right)}{{\sum }_{j=1}^m\exp \left(a\left(\mathbf{q},{\mathbf{k}}_j\right)\right)}\in \mathbb{R}.$$
正如上图所示, 选择不同的注意力评分函数 $a$ 会导致不同的注意力汇聚操作。本节将介绍两个流行的评分 函数，稍后将用他们来实现更复杂的注意力机制。

import math
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

掩码softmax操作

在某些情况下，并非所有的值都应该被纳入到注意力汇聚中。 例如， 某些文本序列被填充了没有意义的特殊词元。 为了仅将有意义的词元作为值来获取注意力汇聚， 可以指定一个有效序列长度（即词元的个数）， 以便在计算softmax时过滤掉超出指定范围的位置。 下面的masked_softmax函数 实现了这样的掩蔽softmax操作（masked softmax operation）， 其中任何超出有效长度的位置都被掩蔽并置为0。

#@save
def masked_softmax(X, valid_lens):
    """通过在最后一个轴上掩蔽元素来执行softmax操作"""
    # X:3D张量，valid_lens:1D或2D张量
    if valid_lens is None:
        return nn.functional.softmax(X, dim=-1)
    else:
        shape = X.shape
        if valid_lens.dim() == 1:
            valid_lens = torch.repeat_interleave(valid_lens, shape[1])
        else:
            valid_lens = valid_lens.reshape(-1)
        # 最后一轴上被掩蔽的元素使用一个非常大的负值替换，从而其softmax输出为0
        X = d2l.sequence_mask(X.reshape(-1, shape[-1]), valid_lens,
                              value=-1e6)
        return nn.functional.softmax(X.reshape(shape), dim=-1)

为了演示此函数是如何工作的, 考虑由两个 $2\times 4$ 矩阵表示的样本, 这两个样本的有效长度分别为 2 和 3 。 经过掩蔽softmax操作，超出有效长度的值都被掩蔽为 0 。

masked_softmax(torch.rand(2, 2, 4), torch.tensor([2, 3]))

'''
   tensor([[[0.5980, 0.4020, 0.0000, 0.0000],
         [0.5548, 0.4452, 0.0000, 0.0000]],

        [[0.3716, 0.3926, 0.2358, 0.0000],
         [0.3455, 0.3337, 0.3208, 0.0000]]])
'''

1. 加性注意力

一般来说, 当查询和键是不同长度的矢量时, 可以使用加性注意力作为评分函数。给定查询 $\mathbf{q}\in {\mathbb{R}}^q$ 和 键 $\mathbf{k}\in {\mathbb{R}}^k$ ，加性注意力 (additive attention) 的评分函数为
$$a(\mathbf{q},\mathbf{k})={\mathbf{w}}_v^{\top }\tanh \left({\mathbf{W}}_q\mathbf{q}+{\mathbf{W}}_k\mathbf{k}\right)\in \mathbb{R},$$
其中可学习的参数是 ${\mathbf{W}}_q\in {\mathbb{R}}^{h\times q}、{\mathbf{W}}_k\in {\mathbb{R}}^{h\times k}$ 和 ${\mathbf{w}}_v\in {\mathbb{R}}^h$ 。如 (10.3.3) 所示, 将查询和键连结起来后 输入到一个多层感知机 (MLP) 中, 感知机包含一个隐藏层, 其隐藏单元数是一个超参数 $h$ 。通过使用 $\tanh$ 作为激活函数, 并且禁用偏置项。
下面来实现加性注意力。

class AdditiveAttention(nn.Module):
    """加性注意力"""
    def __init__(self, key_size, query_size, num_hiddens, dropout, **kwargs):
        super(AdditiveAttention, self).__init__(**kwargs)
        self.W_k = nn.Linear(key_size, num_hiddens, bias=False)
        self.W_q = nn.Linear(query_size, num_hiddens, bias=False)
        self.w_v = nn.Linear(num_hiddens, 1, bias=False)
        self.dropout = nn.Dropout(dropout)

    def forward(self, queries, keys, values, valid_lens):
        queries, keys = self.W_q(queries), self.W_k(keys)
        # 在维度扩展后，
        # queries的形状：(batch_size，查询的个数，1，num_hidden)
        # key的形状：(batch_size，1，“键－值”对的个数，num_hiddens)
        # 使用广播方式进行求和
        features = queries.unsqueeze(2) + keys.unsqueeze(1)
        features = torch.tanh(features)
        # self.w_v仅有一个输出，因此从形状中移除最后那个维度。
        # scores的形状：(batch_size，查询的个数，“键-值”对的个数)
        scores = self.w_v(features).squeeze(-1)
        self.attention_weights = masked_softmax(scores, valid_lens)
        # values的形状：(batch_size，“键－值”对的个数，值的维度)
        return torch.bmm(self.dropout(self.attention_weights), values)

2. 缩放点积注意力

使用点积可以得到计算效率更高的评分函数, 无需学习任何参数，但是点积操作要求查询Q和键K具有相同的长度 $d_{\circ }$ 假设查询和 键的所有元素都是独立的随机变量, 并且都满足零均值和单位方差, 那么两个向量的点积的均值为 0 , 方 差为 $d$ 。

解释：点积是向量对应位置相乘再相加。两个独立的N(0,1)的随机变量相乘得到的变量方差还是1。Q,K都是d维， 相加步骤是d个方差为1的变量相加，方差就是d了。

为确保无论向量长度如何, 点积的方差在不考虑向量长度的情况下仍然是 1 , 我们再将点积除以 $\sqrt{d}$, 则缩放点积注意力 (scaled dot-product attention) 评分函数为:
$$a(\mathbf{q},\mathbf{k})={\mathbf{q}}^{\top }\mathbf{k}/\sqrt{d}.$$
在实践中, 我们通常从小批量的角度来考虑提高效率, 例如基于 $n$ 个查询和 $m$ 个键一值对计算注意力, 其 中查询和键的长度为 $d$, 值的长度为 $v$ 。 查询 $\mathbf{Q}\in {\mathbb{R}}^{n\times d}$ 、键 $\mathbf{K}\in {\mathbb{R}}^{m\times d}$ 和 值 $\mathbf{V}\in {\mathbb{R}}^{m\times v}$ 的缩放点积注意 力是:
$$\mathrm{softmax}\left(\frac{{\mathbf{QK}}^{\top }}{\sqrt{d}}\right)\mathbf{V}\in {\mathbb{R}}^{n\times v}.$$
下面的缩放点积注意力的实现使用了暂退法(dropout)进行模型正则化。

#@save
class DotProductAttention(nn.Module):
    """缩放点积注意力"""
    def __init__(self, dropout, **kwargs):
        super(DotProductAttention, self).__init__(**kwargs)
        self.dropout = nn.Dropout(dropout)

    # queries的形状：(batch_size，查询的个数，d)
    # keys的形状：(batch_size，“键－值”对的个数，d)
    # values的形状：(batch_size，“键－值”对的个数，值的维度)
    # valid_lens的形状:(batch_size，)或者(batch_size，查询的个数)
    def forward(self, queries, keys, values, valid_lens=None):
        d = queries.shape[-1]
        # 设置transpose_b=True为了交换keys的最后两个维度
        scores = torch.bmm(queries, keys.transpose(1,2)) / math.sqrt(d)
        self.attention_weights = masked_softmax(scores, valid_lens)
        return torch.bmm(self.dropout(self.attention_weights), values)