在小学的时候，我们就已经学习过平行线了，但到了初中我们要再一次学习平行线，这是为什么？我想我们在初中所学习的平行线肯定要比小学更加深入，更加严谨，对平行线也会有一个更加准确的认识。我们在小学的时候只学习了平行线的定义，但是其他相关的知识却没有涉及到。
首先我们再来复习一下，到底什么是平行线？也就是平行线的定义是什么？说到平行线，肯定是两条线之间的位置关系，不会是两个点，因为平行里的行就代表了它是有运动状态的，一个点可以运动吗？显然是不行的。但是一条线就可以表示运动的状态，我们也经常说到点动成线，一个点运动的轨迹就形成了一条线，并且还可以无限延伸，就像是直线。所以在这里我们应该更准确的说是两条直线之间的位置关系。并且要注意，说到平行线，是要在同一个平面，不能在其他的维度上。在同一平面内，永不相交的两条直线就是平行线。这就是平行线最基础的定义。我们在小学的时候，也同样可以利用这样的定义画出平行线，用到的其实就是平移的原理，如图：
首先先用直尺任意画一条直线，接下来再将三角板的直角边与之垂直，然后再放上一条直尺，与第一条直线重合后向下平移，这时再画出一条新的直线，所画的两条直线就是平行线。
那么问题来了，我们如何才能判定两条直线相互平行？首先我想到了一个办法，将这两条直线无限向两边延伸，只要他们在延伸的过程中有一点重和，那么他们就不平行。如果两直线始终没有重合的点，这两条直线就平行。这样的方法确实没有问题，但是在实际操作中却不现实，因为我们难道要将这条直线无限的延长再去判定吗？显然是不行的。那么有没有其他的判定方法？我想到了一个方法，平行线之间是垂直的关系，那么我们就可以做一条垂线，分别经过两条直线，如果这条垂线分别垂直于两条直线那么就说明他们是平行的关系，如图：
这样的方法也可以判定他是否是平行线。那还有没有其他的方法？这时我想我们我们之前探索的三线八角，一条直线相截一条平行线，如图：
我们可以先利用几何变化的方式来想象一下，两条直线被第三条直线所截，我猜想当∠1=∠2的时候，直线a和直线b平行，我们也可以用符号语言来表示一下
∵<1=<2
∴a∥b
我们可以想象一下当直线c任意顺时针或逆时针旋转的时候，只要它还和直线a，b相交，∠1其实一直等于∠2，这两个角就称为同位角，也就是说两条直线被第三条直线所截，只要同位角相等，说明这两条直线平行。但是这个猜想可否证明其实是不行的，就像是数学的因为所以证明，肯定有一个最原始的因为，他是无法证明的，也是不正自明的，他也被我们称为公理，如果还无法说服自己的话，大家也可以去多画几组这样的平行线。所以此时我们就得到了平行线判定定理1，两直线被第3条直线所截，如果同位角相等，两直线平行。
接下来我还猜想<7=<4，它们的位置处于直线C的两边，同时还都在直线ab直线的内侧，所以可以把它们称为内错角。当两直线平行被第3条直线所截时，内错角相等，则两平直线平行。我们也可以用符号语言来表示。
∵<7=<4
∴a∥b
但是现在我们只是一个猜想，还需要证明。刚才我们已经得到了平行线判定定理，一，此时我们就可以直接运用前一条定理。
∵<7=<4
<7=<3（对顶角相等）
∴<4=<3（等量代换）平行线判定定理1
此时我们通过前一个定理严谨的因果证明，证出了第2个平行线判定定理，也就是两直线被第3条直线所截，如果内错角相等，两直线平行。
接下来我还有一个猜想，<2+<7=180。这两个角都在直线C的E点，同时它们还都在直线ab的内侧，所以可以叫它们同旁内角，两直线被第3条直线所截，如果同旁内角互补，则两直线平行。我们也可以用符号语言来表示。
∵<2+<7=180
∴a∥b
但是这也只是一个猜想，还需要证明。此时我们就可以运用前两个定理。
∵<2+<7=180
<5+<7=180
∴<2=<5（等量代换）平行线判定定理2
此时我们也通过了严谨的推理证明，得到了平行线判定定理三。两直线被第3条直线所截，如果同旁内角互补，则两直线平行
这就是我们探索的全部的平行线判定方法，只要两直线平行被第。3条直线所截，符合其中的任意一项，这两条直线就平行
刚才我们是通过某些方法证明他是平行线，那么反过来，如果我们知道他是平行线，又能得到哪些其他的结论？这其实就是平行线的性质。我猜想角∠1等于∠2，∠3等于∠4，∠5等于∠6，∠7等于∠8。但是通过我的证明发现，如果想证明同位角相等是没有办法的，因为他之前并没有另一个定理，所以无法通过前一个定理证明，也就是说同位角相等是一个起点，他是不证自明的。这其实就是我们一直所说的公理，就像是欧几里得的证明，先有几个公理，由此推出更多定理。所以我们就可以得到两直线平行同位角相等，这就是平行线性质定理1。现在我们已经有了一个定理，就可以通过这个定义推出新的定理，比如说证明内错角相等，通过这个公理求证∠7是否等于∠4，如图：
其实这就是三线八角中角的各种关系，∠7和∠4就称为内错角，这种角度关系就叫做平行线的性质。后来我一一推理证明，得到了两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，他们分别是平行线的性质定理1，2，3这就是平行线的性质。以后我们只要知道两直线平行就可以立刻得到这三组关系。