无穷小的比较（无穷小的替换常用公式）

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无穷小比较的定义

无穷小的比较

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无穷小比较的定义

1. 高阶无穷小。如果,那么是的高阶无穷小。记作
2. 低阶无穷小。如果，那么是的低阶无穷小。
3. 同阶无穷小。如果, 那么是的同阶无穷小。
4. k阶无穷小。如果, 那么是的k阶无穷小。
5. 等价无穷小。如果， 那么是的等价无穷小。记作~

高阶低阶其实就是趋向于某一极限的快慢程度。假设当x趋向于正无穷和都趋向正无穷时，如果两个式子相比极限为0，说明分子趋向于无穷的程度要比分母的慢，极端点想就是分子为0分母为无穷大分数才能为0。

最常考的其实是等价无穷小。这块会求极限就很简单了。

无穷小的比较

常用等价无穷小公式

以下公式前提都是x趋向于0，x不趋向于0则不一定成立。

sinx~x        tanx~x

arcsinx~x        1-cosx~

arctanx~x        secx-1~

 ~  即  ~

~        ~

~

(用后面那条公式的时候需要注意，比如，此时n应该为2而不是为1)

实际上还有无穷小等价关系的性质，如对称性(若~，则~），自反性（~），传递性（若~，~，则~）

这里的易错点就是x得趋向于0时上面这些等价无穷小才适用，而且替换后的式子极限存在。

同时只有分子或分母是若干因子的乘积时才能替换，比如当式子为sinx+x是不能替换的，但则是可以替换sinx为x的。

例1：当,与 相比，哪一个是高阶无穷小。

：  ：

这式子可能还不够直观，比一比，发现x能消去，得到和,这就很直观了。题目问的是趋向于0时这两个式子相比，此时接近于2，则接近于0，最后相比结果极限为0.所以是的高阶无穷小。

例2：求

这里要用到等价无穷小，已知x趋向0时，sinx~x（sinx和x是等价无穷小),和tanx~x,那么直接把tan2x替换为2x，sin5x替换为5x，最后得到结果

例3：求

由 ~ 可得，上面的式子可以化成,下面的式子可以化成，最后结果为