三种激活函数(Relu,Sigmoid,tanh)与多层感知机

Relu

ReLU（rectified linear unit）函数提供了一个很简单的非线性变换。给定元素xx，该函数定义为:
$ReLU(x)=max(x,0)$
实现:

import torch
import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt
import sys
sys.path.append("..")
import d2lzh_pytorch as d2l

def xyplot(x_vals, y_vals, name):
    d2l.set_figsize(figsize=(5, 2.5))
    d2l.plt.plot(x_vals.detach().numpy(), y_vals.detach().numpy())
    d2l.plt.xlabel('x')
    d2l.plt.ylabel(name + '(x)')

x = torch.arange(-8.0, 8.0, 0.1, requires_grad=True)
y = x.relu()
xyplot(x, y, 'relu')
plt.show()

显然，当输入为负数时，ReLU函数的导数为0；当输入为正数时，ReLU函数的导数为1。尽管输入为0时ReLU函数不可导，但是我们可以取此处的导数为0。下面绘制ReLU函数的导数。

y.sum().backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of relu')

Sigmoid函数

sigmoid函数可以将元素的值变换到0和1之间：
$sigmoid(x)=\frac{1}{1+exp(-x)}$
sigmoid函数在早期的神经网络中较为普遍，但它目前逐渐被更简单的ReLU函数取代,下面绘制了sigmoid函数。当输入接近0时，sigmoid函数接近线性变换。

依据链式法则，sigmoid函数的导数:
$sigmoi{d}^{{}^{\prime }}(x)=sigmoid(x)(1-sigmoid(x))$.
下面绘制了sigmoid函数的导数。当输入为0时，sigmoid函数的导数达到最大值0.25；当输入越偏离0时，sigmoid函数的导数越接近0。

x.grad.zero_()
y.sum().backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of sigmoid')

tanh函数

tanh（双曲正切）函数可以将元素的值变换到-1和1之间：
$tanh(x)=\frac{1-exp(-2x)}{1+exp(-2x)}$.
我们接着绘制tanh函数。当输入接近0时，tanh函数接近线性变换。虽然该函数的形状和sigmoid函数的形状很像，但tanh函数在坐标系的原点上对称。

y = x.tanh()
xyplot(x, y, 'tanh')

依据链式法则，tanh函数的导数:
$tan{h}^{{}^{\prime }}(x)=1-tan{h}^2(x)$.
下面绘制了tanh函数的导数。当输入为0时，tanh函数的导数达到最大值1；当输入越偏离0时，tanh函数的导数越接近0。

y.sum().backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of tanh')

多层感知机

多层感知机就是含有至少一个隐藏层的由全连接层组成的神经网络，且每个隐藏层的输出通过激活函数进行变换。多层感知机的层数和各隐藏层中隐藏单元个数都是超参数。以单隐藏层为例并沿用本节之前定义的符号，多层感知机按以下方式计算输出：
$H=\varphi (X{W}_h+b_h)$
$O=H{W}_o+B_o$
其中ϕ表示激活函数。在分类问题中，我们可以对输出O做softmax运算，并使用softmax回归中的交叉熵损失函数。 在回归问题中，我们将输出层的输出个数设为1，并将输出O直接提供给线性回归中使用的平方损失函数

小结

• 多层感知机在输出层与输入层之间加入了一个或多个全连接隐藏层，并通过激活函数对隐藏层输出进行变换。
• 常用的激活函数包括ReLU函数、sigmoid函数和tanh函数。