算法篇：二维动态规划问题

题目：

给定一个NxM的矩阵A和一个整数K，小Hi希望你能求出其中最大（元素数目最多）的子矩阵，并且该子矩阵中所有元素的和不超过K。

Input

第一行包含三个整数N、M和K。

以下N行每行包含M个整数，表示A。

对于40%的数据，1 <= N, M <= 10  

对于100%的数据，1 <= N, M <= 250 1 <= K <= 2147483647 1 <= Aij <= 10000

Output

满足条件最大的子矩阵所包含的元素数目。如果没有子矩阵满足条件，输出-1。

Sample Input

3 3 9
1 2 3  
2 3 4  
3 4 5

Sample Output

4 

 

/*算法设计思想：将二维动态规划问题转化为一维动态规划问题。

1.定义：设row[x][y]：第x行中前y个数的和，则row[x][q]-row[x][p]：第x行中第p+1~第q个数的和，

行x~y列u~v的矩形的元素之和：

row[x][v]-row[x][u-1]+row[x+1][v]-row[x+1][u-1]+…+row[y][v]-row[y][u-1]

2.过程：先将列固定，只移动行，取行所有的情况，就相当于求最长子段和的一维动态规划问题。

再取列所有的情况，将每一次一维动态规划的结果作为二维动态规划的一项。*/

#include

using namespace std;

int dp[255][255];//保存各行对应位置元素和的矩阵

int a[255][255];//输入矩阵

int ans=-1;

int N,M,K;

typedef long long  LL;

 

int main(){

   // cout<<"input M,N,K:";

   //system("pause");

    cin>>M>>N>>K;

    for(int i=1;i<=M;i++){//对每一行的对应位置求和。

        dp[i][0]=0;

        for(int j=1;j<=N;j++){

            cin>>a[i][j];

            dp[i][j]=dp[i][j-1]+a[i][j];

        }

    }

 

for(int i=1;i

    for(int j=i;j

        //先固定列，之后对列进行遍历。

        LL aa=0;

        for(int k=1,l=1;k<=N;k++){

            //固定列之后移动行转化为一维动态规划问题

            aa+=dp[k][j]-dp[k][i-1];

            while(aa>k){

                aa-=dp[l][j]-dp[l][i-1];

                ++l;

            }

            ans=max(ans,(j-i+1)*(k-l+1));

        }

    }

}

   cout<

   system("pause");

   return 0;

}

参考文章：https://www.cnblogs.com/SeekHit/p/6763833.html