2019-04-19 Seminar (Long range spin chain)

这次终于是把第一章结束了，算是完成了场论方面的背景的review。

简单的介绍了一下R-matrix formalism，也就是algebraic Bethe ansatz。之前将的coordinate bethe ansatz是从Hamiltonian 出发，然后根据Bethe的思路猜本征函数，得到Bethe equation。 algebraic Bethe ansatz 的思路是从R-matrix 出发，R-matrix 可以理解为描述一维粒子的散射，可积的条件就是R-matrix 满足Yang-Baxter equation，然后可以构造无穷多个互相対易的算符。如果把其中的一个当做Hamiltonian的话，就得到了一个一般描述下的可积系统。
对于1-loop的可积性，就是通过构造一个Rmatrix来证明的。

higher loop也就是高价的情况相当于一个long range 的spin chain。对应的Dilatation的修正还有可积性是利用一种bootstrap的思想来一阶一阶的构造的。首先根据feynman图还有对称性的要求，对Dilatation还有conserved charge做一个猜想，然后带入他们可以対易的条件，就能得到一些限制来确定猜想里面的系数。很有意思的一个发现就是，对Dilatation的限制完全来自于Dilatation和其中一个conserved charge Q3的対易。这就算是部分解释了一个之前的问题，就是证明可积性，还有怎么利用可积性来确定量子修正。

long spin chain也是可以利用 Bethe ansatz 来求解的，但是Bethe equation 会发生相应的变化。这里还需要看更多具体的例子，因为还是不能明确Bethe ansatz的适用条件，到底什么样的情况可以适用Bethe ansatz。或者说如果在知道可积的情况下，怎么得到对应的Bethe ansatz。

最后一点挺有意思的就是发现一个long range spin chain 和一个 short range spin 的等价。一个猜想就是 是不是我们之前遇到的那些long range spin chain 都能找到一个
short spin chain 的对应。

下星期要具体讲Bethe ansatz。大概看了一下，可能一次讲不完，内容还是很多的。