主席树常规做法,在一般主席树中多维护一个这个区间的总和就ok了
接下来我们来推导一下单调性,也就是题解中的 f ( 1 ) < = f ( 2 ) < = f ( 3 ) 接下来我们来推导一下单调性,也就是题解中的f(1) <= f(2) <= f(3) 接下来我们来推导一下单调性,也就是题解中的f(1)<=f(2)<=f(3)
比如我们 f ( 1 ) = i , 设 j < i , 那么 w ( 2 , i ) 一定小于等于 w ( 2 , j ) 比如我们f(1)=i, 设j比如我们f(1)=i,设j<i,那么w(2,i)一定小于等于w(2,j)
因为 w ( 2 , i ) 和 w ( 2 , j ) 就相当于在 w ( 1 , i ) , w ( 1 , j ) 基础上再选一个,然而 i > j 因为w(2,i) 和 w(2,j)就相当于在w(1,i),w(1,j)基础上再选一个,然而i>j 因为w(2,i)和w(2,j)就相当于在w(1,i),w(1,j)基础上再选一个,然而i>j
那么 i 可选的新的点的范围就涵盖 j 可选新的点范围了,所以 w ( 2 , i ) 不可能大于 w ( 2 , j ) 那么i可选的新的点的范围就涵盖j可选新的点范围了,所以w(2,i)不可能大于w(2,j) 那么i可选的新的点的范围就涵盖j可选新的点范围了,所以w(2,i)不可能大于w(2,j)
比如设 f ( k 1 ) = i , j < i 那么 w ( k 1 + 1 , i ) < = w ( k 1 + 1 , j ) 比如设f(k1) = i, j < i 那么 w(k1+1,i) <= w(k1+1,j) 比如设f(k1)=i,j<i那么w(k1+1,i)<=w(k1+1,j)
证明如下: w ( k 1 + 1 , i ) 是 a i + b i + i 前面最小的 k 1 个 a i 的值, w ( k 1 + 1 , j ) 是 a j + b j + j 前面最小的 k 个 a i 证明如下:w(k1+1,i)是ai+bi+i前面最小的k1个ai的值,w(k1+1,j)是aj+bj+j前面最小的k个ai 证明如下:w(k1+1,i)是ai+bi+i前面最小的k1个ai的值,w(k1+1,j)是aj+bj+j前面最小的k个ai
就是在此基础上再多选一个,然而 i > j 那么 i 的选择范围涵盖了 j 就是在此基础上再多选一个,然而i>j那么i的选择范围涵盖了j 就是在此基础上再多选一个,然而i>j那么i的选择范围涵盖了j
并且 w ( k 1 , i ) < w ( k 1 , j ) 所以 w ( k 1 + 1 , i ) < = w ( k 1 + 1 , j ) 并且w(k1,i)
有了 f ( 1 ) < = f ( 2 ) < = f ( 3 ) 的决策单调性结论 有了f(1)<=f(2)<=f(3)的决策单调性结论 有了f(1)<=f(2)<=f(3)的决策单调性结论
我们发现我们要求的 k 范围是 1 − n 暴力做法是针对每个 k 都跑一遍所有的 x 我们发现我们要求的k范围是1-n暴力做法是针对每个k都跑一遍所有的x 我们发现我们要求的k范围是1−n暴力做法是针对每个k都跑一遍所有的x
n 方复杂度肯定不行,这时候我们发现决策单调性,也就是 f ( 2 ) 肯定在 f ( 1 ) 及它后面 n方复杂度肯定不行,这时候我们发现决策单调性,也就是f(2)肯定在f(1)及它后面 n方复杂度肯定不行,这时候我们发现决策单调性,也就是f(2)肯定在f(1)及它后面
这时候就可以根据 f ( n ) 进行分治,每次把 k 区间分两半,暴力计算出 f ( m i d k ) 这时候就可以根据f(n)进行分治, 每次把k区间分两半,暴力计算出f(mid_k) 这时候就可以根据f(n)进行分治,每次把k区间分两半,暴力计算出f(midk)
然后 m i d k 左边的区间影响决策的 x 范围也就是 1 到 f ( m i d k ) − 1 然后mid_k左边的区间影响决策的x范围也就是1到f(mid_k)-1 然后midk左边的区间影响决策的x范围也就是1到f(midk)−1
m i d k 右边的区间影响决策的区间就是 f ( m i d k ) + 1 到 n mid_k右边的区间影响决策的区间就是f(mid_k)+1到n midk右边的区间影响决策的区间就是f(midk)+1到n
这样一共分为 l o g ( n ) 层,每层计算区间和为 n ,复杂度为 n l o g ( n ) 这样一共分为log(n)层,每层计算区间和为n,复杂度为nlog(n) 这样一共分为log(n)层,每层计算区间和为n,复杂度为nlog(n)
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2e5 + 10;
int root[N], idx, n;
LL ans[N];
struct PST{
int lson, rson;
int num; LL sum;
}tr[N<<5];
struct node{
int a, b;
bool operator <(node & tem){
return b < tem.b;
}
}res[N];
vector<int> diz;
void build(int &x, int l, int r)
{
x = ++idx;
if(l == r) return;
int mid = (l+r) >> 1;
build(tr[x].lson, l, mid);
build(tr[x].rson, mid+1, r);
}
int find(int x)
{
return lower_bound(diz.begin(), diz.end(), x) - diz.begin() + 1;
}
void insert(int &x, int y, int l, int r, int c)
{
x = ++idx; tr[x] = tr[y]; tr[x].num ++; tr[x].sum += diz[c-1];
if(l == r) return;
int mid = (l+r) >> 1;
if(c <= mid) insert(tr[x].lson, tr[y].lson, 1, mid, c);
else insert(tr[x].rson, tr[y].rson, mid+1, r, c);
}
LL query(int x, int l, int r, int k)
{
if(l == r) return 1ll*diz[l-1]*k;
int mid = (l+r) >> 1;
int cur = tr[tr[x].lson].num;
if(cur <= k)
{
return tr[tr[x].lson].sum + query(tr[x].rson, mid+1, r, k-cur);
}
else return query(tr[x].lson, l, mid, k);
}
void solve(int kl, int kr, int xl, int xr)
{
if(kl > kr) return ;
int kmid = (kl+kr) >> 1; LL cur = 1e18; int xmid = 0;
for(int i = max(xl, kmid); i <= xr; i ++)
{
if(1ll*res[i].b + res[i].a + query(root[i-1], 1, diz.size(), kmid-1) < cur)
{
cur = 1ll*res[i].b + res[i].a + query(root[i-1], 1, diz.size(), kmid-1); xmid = i;
}
}
ans[kmid] = cur;
solve(kl, kmid-1, xl, xmid); solve(kmid+1, kr, xmid, xr);
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i ++){
cin >> res[i].a >> res[i].b;
diz.push_back(res[i].a);
}
sort(res+1, res+1+n);
sort(diz.begin(), diz.end());
diz.erase(unique(diz.begin(), diz.end()), diz.end());
build(root[0], 1, diz.size());
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
insert(root[i], root[i-1], 1, diz.size(), find(res[i].a));
}
solve(1, n, 1, n);
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
cout << ans[i] << endl;
}
return 0;
}