高数(上) 第一章：函数、极限、连续

一、函数

1.函数的概念、基本初等函数

1.函数

是否是同一个函数：看定义域和对应法则f，是否相同。与字母(记号)无关。

2.复合函数

3.反函数：若g(x)是f(x)的反函数，则：
①$g(f(x))=x$
②$g^{\prime }(x)=\frac{1}{f(x)},g^{\prime \prime }(x)=-\frac{f^{\prime \prime }(x)}{[f^{\prime (}x){]}^3}$

①定义：【f是定义域到值域的一一映射】对于每一个y，都有唯一的x与之对应。则有反函数。
②如何求反函数：①反解 y=f(x) ->x=g(y) ②x与y调换，写成y=g(x)。则f与g互为反函数

4.基本初等函数
①幂：$x^a$
②指：$y=a^x$ (a>0,a≠1)
③对：$y=lo{g}_{a}x$ (a>0,a≠1)
④三角：sinx cosx tanx
⑤反三角函数：arcsinx arccosx arctanx
$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$

Ⅰ.arcsinx，定义域$[-1,1]$，值域 [$-\frac{\pi }{2}$,$\frac{\pi }{2}$]
$\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$

$\theta \in (0,\frac{\pi }{2})，arcsin(sin\theta )=\theta$
$\theta \in (\frac{\pi }{2},\pi )，arcsin(sin\theta )=\pi -\theta$

Ⅱ.arccosx,定义域[-1,1]，值域 [-$\frac{\pi }{2}$,$\frac{\pi }{2}$]

初等函数：
由五类基本初等函数经过有限次的 加减乘除和复合 运算后，且能用一个解析式表示的函数，称为初等函数。

2.函数的性质 (函数四性态)

单调性、奇偶性、周期性、有界性 ＋对称

1.单调性

(1)$f(x)单增⇦⇨f^{\prime }(x)\ge 0$

(2)f每多一个负号，单调性发生变化：f(x)单增，则f(-x)单减，-f(-x)单增

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例题1：武钟祥老师每日一题 24.Day62   单调性

答案：D

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2.奇偶性

(1)奇函数：
①定义：$f(-x)=-f(x)$
②性质：i.奇函数关于原点对称 ii.若奇函数在x=0处有定义，则f(0)=0

(2)偶函数
①定义：$f(-x)=f(x)$
②性质：偶函数关于y轴对称

(3)导函数的奇偶性

①对于可导的偶函数，其导函数是奇函数；
②对于可导的奇函数，其导函数是偶函数；

只能推导函数的奇偶性，不可推断原函数的奇偶性

(4)$f(|x|)与|f(x)|$：
①$f(|x|)$是关于x的偶函数，左右对称
②$|f(x)|=|y|$是关于y的偶函数，上下对称

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例题1：07年3.   $f(x)$为奇函数，则$F(x)$为偶函数

答案：C

例题2：19年12.   $|y|$是关于y的偶函数

分析：

答案：$\frac{32}{3}$

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3.周期性

1.定义：$f(x+T)=f(x)$，则f(x)为周期函数
2.性质：
①设f(x)连续且以T为周期，则 $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ 是以T为周期的周期函数 ⇦⇨ ${\int }_0^{T}f(x)dx=0$
②周期函数的原函数是周期函数 ⇦⇨(充要条件) 其在一个周期上的积分为零
③若F(x)是以T为周期的可导函数，则$F^{\prime }(x)=f(x)$仍是以T为周期的周期函数
④设f(x)是以T为周期的连续函数，则${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx={\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx$，${\int }_0^{nT}f(x)dx=n{\int }_0^{T}f(x)dx$

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例题1：660 T212

例题2：18年18(2)

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4.有界性

有界，既有上界，又有下界

5.对称性

1.对称区间上，奇函数积分为0，偶函数积分为正半区间的2倍

2.①$f(x)$与$f(-x)$关于$y轴对称$
②$f(x)$与$-f(x)$关于$x轴对称$

3.$f(x+a)$与$f(x-a)$关于$x=a$对称

4.$f(|x-a|)$关于x=a对称

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例题1：注意函数的对称性。2023年19.曲面积分就是对称性。

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3.开根要带绝对值

$\sqrt{a^2}=|a|$

二、极限

1.考试内容概要
①极限的概念
②极限的性质
③极限存在准则
④无穷小
⑤无穷大

1.极限的概念

①数列极限

①数学语言定义（ε-N语言）

②几何意义
数轴，只有有限项落在区间外面，当n>N时所有点都落在开区间(a-ε,a+ε)内

i.变式
若极限为a

ii.收敛数列必有界。

单调有界 -> 收敛/有极限 -> 有界

④数列极限和部分列极限 的关系：数列极限存在且为a，则所有部分列极限也存在且为a

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例题1：19年18.   数列极限：定积分的保号性、三角换元(有根式)、夹逼定理

答案：

例题2：08年4.   数列极限、举反例

分析：
f(x)单调 + {x_n}单调 = {f(x_n)}单调
f(x)单调 + f{x_n}单调 = {x_n}单调

对于CD，举个反例：f(x)=arctanx单调有界，{x_n}=n（n=1,2,3,…），则$\{f(x_n)\}=\arctan n$，收敛于$\frac{\pi }{2}$，而$\underset{n\to \infty }{\lim }\{x_n\}=\underset{n\to \infty }{\lim }n=\infty$，{x_n}发散

答案：B

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②函数极限

函数是f(x)，数列$a_n=f(n)$，n只能取正整数。因此，函数极限是一般，数列极限的特殊。一般可以推出特殊，反之不可。

n→∞：n→+∞
x→∞：|x|→+∞

(1)自变量趋向于有限值的极限
左极限和右极限

(2)自变量趋向于无穷大的极限

定理：函数f(x)存在极限，当且仅当左右极限都存在且相等

需要区分左右极限的三种问题 （左右极限有区别，需要分）

①分段函数在分段点的极限
②$e^{\infty }$ ：分正负无穷，$e^{+\infty }=\infty ，e^{-\infty }=0$
③arctan∞：分正负无穷，$arctan+\infty =\frac{\pi }{2},arctan-\infty =-\frac{\pi }{2}$

2.极限的性质

①有界性

收敛必有界
1.数列

由极限的有界性知，∃M>0，使得$|x_n|\le M$

证明：数轴上，n>N后落在a的邻域内，有界。之前的有限项，因为数量有限，所以界一定存在。综上，数列收敛，则一定有界。

2.函数

$$f(x)=\{\begin{array}{llc}0,& x<01,& x\ge 0\end{array}$$

②保号性

如果$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A，且A＞0，$那么存在常数$\delta >0$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$ 时，有$f(x)>0$（同理$A<0$ 时，有 $f(x)<0$）

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例题1：武忠祥老师每日一题 24.Day64   保号性、极值

分析：

答案：D

例题2：武忠祥老师每日一题 24.Day65   保号性、极值

分析：

答案：B

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③极限值与无穷小的关系

3.极限存在准则

①单调有界准则

单调有界准则：单调有界，必有极限（数列收敛）
①单调增、有上界 ②单调减、有下界

递推关系：$a_{n+1}=f(a_n)$，用单调有界准则

喻老三：考研中证明极限存在，至今为止，每次都考 单调有界准则

收敛和有极限是等价的意思。不过一般只有 数列和级数 才说收敛。

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例题1：18年19.  单调有界准则证明数列极限存在

答案：

例题2：06年16.

例题3：08年4.

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②夹逼定理

A

n项和：用夹逼定理

若题目中出现了形如 A不等式，留意下是否可以通过变形后夹逼。

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例题1：16年4.   连续的定义、可导的定义、夹逼定理

分析：从题目已知，通过变形得到题目所求的夹逼。看到有不等式，可以留意一下是否 变形后能夹逼。

答案：D

例题2：19年18.

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4.无穷小量

1.无穷小量的概念
2.无穷小量的比较
3.无穷小量的性质

无穷小量阶的比较

同阶无穷小 ⇦⇨ 阶数相同 ⇦⇨ 相除,趋于0时的极限=k（k为非零的任意常数）
等价无穷小 ⇦⇨ 阶数相同，系数也相同 ⇦⇨ 相除,趋于0时的极限=1

阶 = (里面被积的阶+1)×外面上限的阶

$$(1+x{)}^{\mu }\sim \mu x$$
例如：$\sqrt{1+x}\sim \frac{x}{2}$

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例题1：

答案：
解法1：加1减1、等价无穷小替换
解法2：拉格朗日中值定理
解法3：有理化

例题2：

答案：幂指函数化e^ln形式，用等价无穷小代换

例题3：07年1.  等价无穷小 ⇦⇨ 阶数相同，系数也相同 ⇦⇨ 相除,趋于0时的极限=1

分析：
C：$\sqrt{1+\sqrt{x}}-1\sim \frac{\sqrt{x}}{2}$

B：$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln (1+\frac{x+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}})}{\sqrt{x}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{x+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}=1$

答案：B

例题4：20年1.

分析：阶 = (里面被积的阶+1)×外面上限的阶

A：${\int }_0^x(e^{t^2}-1)\mathrm{d}t\sim$ ${\int }_0^x{t}^2\mathrm{d}t$，阶=2+1=3

B：${\int }_0^x\ln$$(1+\sqrt{t^3})\mathrm{d}t\sim {\int }_0^x\sqrt{t^3}\mathrm{d}t={\int }_0^x{t}^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}t$，阶=1.5+1=2.5

C：${\int }_0^{sinx}\sin t^2\mathrm{d}t\sim {\int }_0^{sinx}{t}^{2}dt$，阶=2+1=3

D：${\int }_0^{1-cosx}\sqrt{\mathrm{si}{\mathrm{n}}^3\mathrm{t}}\mathrm{dt}\sim$${\int }_0^{\frac{1}{2}{x}^2}{t}^{\frac{3}{2}}dt$，阶=(1.5+1)×2=5

答案：D

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5.无穷大量

无穷大比阶

$x^x>>x!>>a^x>>x^a>>{\ln }^{k}x$
幂指 >> 阶乘 >> 指数 >> 幂 >> 对数

1.无穷大量的概念：无穷大指的是 绝对值趋向于正无穷，无穷大要分正无穷大、负无穷大
2.无穷大量的比阶：幂指>阶乘>指>幂>对
3.无穷大量的性质
4.无穷大量和无界变量的关系
5.无穷大量和无穷小量的关系

一境之差，天差地别

4.无穷大量与无界变量的关系：
无穷大量要求n>N后每一项都很大，要连续的无界。无界变量只要求存在有一点处无界。无穷大量⊇无界变量

5.无穷大量与无穷小量的关系：0也是无穷小。无穷小取倒数且非0，才是无穷大。1/0无意义。

例题2：06年16.   (1)证明极限存在——单调有界准则：单调有界必有极限 (2)凑重要极限，求极限

分析：
(1)证明极限存在——单调有界准则：单调有界必有极限
(2)凑重要极限，求极限

答案：$e^{-\frac{1}{6}}$

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6.未定式

① 0·∞

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x=0$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^a{\ln }^{k}x=0(a>0,k>0)$

7.求极限（求极限的方法）

求极限的方法：
①等价无穷小代换 、配合 加项减项
②洛必达法则 (L’Hôpital’s rule)
③拉格朗日中值定理：出现 同一函数 在两点函数值之差
④两个重要极限、几个基本极限
⑤有界量×无穷小=无穷小
⑥泰勒公式
⑦夹逼准则
⑧导数定义
⑨定积分定义、二重积分定义

1.基本极限求极限 (两个重要极限)

(1)常用基本极限

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1 \\ \underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e \end{gathered}$$

(2)“1^∞”型极限常用结论
①凑e
②改写洛必达
③三部曲

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例题1：

答案：三部曲

例题2：11年15.   重要极限

答案：

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2.利用等价无穷小代换求极限

1.代换原则：乘除关系随便换，加减关系要同阶，减法不能为1，加法不能为-1

等价无穷小

2.常见等价无穷小

阶	等价无穷小：x→0
一阶	$x\sim sinx\sim tanx\sim arcsinx\sim arctanx\sim \ln (1+x)\sim e^x-1$ $a^x-1\sim x\ln a$ $(1+x{)}^a-1\sim ax$，${}^n\sqrt{1+x}-1\sim \frac{x}{n}$
二阶	$1-cosx\sim \frac{1}{2}{x}^2$，$1-co{s}^{\alpha }x\sim \frac{\alpha }{2}{x}^2$ $x-\ln (1+x)\sim \frac{1}{2}{x}^2$
三阶	$x-sinx\sim \frac{1}{6}{x}^3$，$tanx-x\sim \frac{1}{3}{x}^3$ $arcsinx-x\sim \frac{1}{6}{x}^3$，$x-arctanx\sim \frac{1}{3}{x}^3$

①$a^x-1\sim x\cdot \ln x$
②$(1+x{)}^{\alpha }\sim \alpha x$

推广：

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例题1：20年9.   求极限：洛必达、泰勒公式

分析：
先通分:原式=$\underset{x\to 0}{\lim }[\frac{ln(1+x)-(e^x-1)}{(e^x-1)[ln(1+x)]}]=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{ln(1+x)-(e^x-1)}{x^2}$

方法1：洛必达，一直洛

方法1.5：洛必达法则+提出分子中的分式（提出$\frac{1}{1+x}$）
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{ln(1+x)-(e^x-1)}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{1+x}-e^x}{2x}$
（提出$\frac{1}{1+x}$）$=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{1+x}\cdot \frac{1-e^x(1+x)}{x}=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-e^x-x{e}^x}{x}=-\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x(x+1)-1}{x}=-\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }[e^x(x+1)+e^x]=-\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }{e}^x(x+2)=-1$

方法2：泰勒公式
$ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$
$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+o(x^2)$   $\therefore e^x-1=x+\frac{x^2}{2!}+o(x^2)$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{ln(1+x)-(e^x-1)}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{[x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)]-[x+\frac{x^2}{2!}+o(x^2)]}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-x^2+o(x^2)}{x^2}=-1$

答案：-1

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3.利用有理运算法则求极限

4）若$\lim f(x)\cdot g(x)$ 存在，且$\lim f(x)=\infty$，则$\lim g(x)=0$

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例题1：知道极限确定参数

思路：把左边极限存在的一项单独拿出来，因为运算后的极限存在，所以那些不存在的项加减后极限也必然存在
答案：

例题2：

答案：

例题3：

答案：有理运算法则常用结论3：极限商存在且非0，分子趋向于0，则分母也趋向于0

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4.利用洛必达法则求极限

①${\infty }^0$：化为$e^{\ln }$

②$\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=\ln (x+\sqrt{1+x^2})+C$

③f(x)n阶可导：最多推出n-1阶导数连续、极限存在，可用n-1次洛必达。$f^{(n)}(x)$要用导数定义
f(x)n阶导数连续：n阶导数连续、极限存在，可用n次洛必达直接求出$f^{(n)}(x)$

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例题1：抽象函数求极限，使用洛必达法则的原则

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5.利用泰勒公式求极限

arcsinx、tanx、arctanx的泰勒公式，可以用三阶无穷小等价代换求出

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例题1：

答案：①泰勒 ②洛必达＋加项减项 等价无穷小

例题2：一题多解

答案：①泰勒 ②各个击破(有界量×无穷小=0) ③(选择题)代入的方法

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6.利用夹逼原理求极限

$\underset{n\to \infty }{\lim }$${}^n\sqrt{a_1^n+a_2^n+...+a_m^n}=max\{a_1,a_2,...,a_m\}$

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例题1：

答案：右边已经知道极限是3，左边大胆放缩，朝着目标是3来放缩。（有风险，万一右边求错了）

例题2：

结论：若干个数的n次方之和开根号的极限，为最大的那个数

例题2：继续用结论

例题3：几何的方法

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7.利用单调有界准则求极限

递推关系处理数列极限：
$x_{n+1}=f(x_n)$，求极限$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$：
①单调有界准则证明极限存在 ②等式两边同时取极限，求出极限

(0)基本不等式
$2ab\le a^2+b^2$
${}^3\sqrt{abc}\le \frac{a+b+c}{3}$

(1)证明单调性：①后项减前项 ②后项比前项（难点）

找界

求出极限

8.定积分定义求极限

定积分的定义：

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例题1：660 T133   经典错误

答案：D

例题2：660 T19   利用单调有界准则求极限

答案：$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

例题3：武基础班例题   定积分定义求极限

答案：

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三、连续

1.连续性的概念

2.间断点

(1)间断点的定义

(2)间断点的分类

1.第一类间断点：左右极限都存在

①可去间断点：左右极限都存在，且相等

②跳跃间断点：左右极限都存在，但不等

2.第二类间断点：左右极限至少有一个不存在，为∞
①无穷间断点：存在无界点 / 瑕点，y(a)=∞，则a为无穷间断点，例如$\tan \frac{\pi }{2}$

②振荡间断点：振荡不存在，但是有界，并不是无穷。典型例子sin∞：$\underset{x\to 0}{\lim }\sin \frac{1}{x}$

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例题1：660 T24

答案：(1，e)

例题2：

答案：①找间断点 ②求间断点处的极限，判断是第一类还是第二类间断点

例题3：

答案：

例题4：

答案：

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3.连续性的运算与性质

定义区间：包含在定义域内部的区间

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例题1：

答案：

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4.闭区间上连续函数的性质：有界性和最大最小值定理、介值定理、零点定理

1.有界性与最大最小值定理

在闭区间上连续的函数在该区间上：①有界 ②且一定能取得它的最大值与最小值

2.介值定理

设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且在这区间的端点取不同的函数值$f(a)=A,f(b)=B$，则对于A与B之间的任意一个数C，在开区间$(a,b)$内至少有一点$\xi$，使得$f(\xi )=C(a<\xi <b)$

3.零点定理

若函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(a)\cdot f(b)<0$，则至少存在一点$\xi \in (a,b)$，使得$f(\xi )=0$

零点：若$x_0$使得$f(x_0)=0$，那么称$x_0$为函数$f(x)$的零点

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例题1：

答案：最大最小值定理、介值定理

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5.总结

(1)连续与可导

连续：左极限 = 函数值 =右极限
可导：左导数 = 右导数

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例题1：07年4.

分析：AB是连续，CD是可导

A：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}存在⇨\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0\stackrel{连续}{}f(0)=0$

或者 $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}\cdot x=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}\cdot \underset{x\to 0}{\lim }x=0$（有界×无穷小 = 无穷小）

B：两种方法同理可证 2f(0)=0

C：导数定义 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime }(0)存在$

D：举反例，|x|在x=0处不可导

答案：D

例题2：16年4.

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(2) 连续与极限

若f连续，则$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=f(\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n)$

(3) 方程根的存在性及个数

https://blog.csdn.net/Edward1027/article/details/128774498

(4) 极限需要注意的问题：求极限，能否直接代入的问题