优化算法笔记（二十五）飞蛾扑火算法

1. 飞蛾扑火算法简介

（以下描述，均不是学术用语，仅供大家快乐的阅读）
　　飞蛾扑火算法（Moth-Flame Optimization）是受飞蛾围绕火焰飞行启发而提出的算法。算法提出于2015年5月（投稿日期），虽可算作一个新算法，不过无数研究者就像飞蛾见了火一样，发表了如此之多的论文，惊了。
　　飞蛾扑火算法中有两种个体，飞蛾和火焰，飞蛾选择并围绕火焰以螺线方式飞行搜索，搜索完后，火焰将移动位置，以保持火焰是飞蛾和火焰群体中最优的位置。
　　算法的流程简单，螺线搜索在之前的鲸鱼算法中也出现过，这里会较为详细的记录记录螺线搜索的具体情况。

2. 算法流程

显然,飞蛾扑火算法中有两种角色,飞蛾与火焰。初始时飞蛾与火焰的数量均为N。为了方便查看，将飞蛾的位置表示为XM ，火焰的位置为 XF。
　　初始化时，会在解空间内初始化N个飞蛾与M(M=N)个火焰。在算法过程中，飞蛾将会围绕它所选择的火焰飞行，之后将这N个飞蛾与M个火焰按优劣排序，并将M个火焰移动到较优的前M个个体的位置。其中火焰的数量M会随着迭代次数的改变而不断变化，论文中阶梯递减至1。
　　算法的主要步骤如下：
　　1. 飞蛾选择火焰（将火焰分配给飞蛾）。
　　2. 飞蛾围绕火焰飞行。
　　3. 移动火焰到相应位置。
　　从步骤可以看出，算法中飞蛾的飞行是一种无贪心算法的操作，而火焰的移动则是一种变相的贪心操作。

2.1飞蛾选择火焰

初始化时，会有N个飞蛾和N个火焰（M=N）,故每只飞蛾都可以选择互不相同的火焰。随着迭代次数的递增，火焰的数量会递减。其数量根据以下公式计算得出：

其图像如下图所示：

　　其实就是将火焰数量M线性递减到1，由于火焰数量是正数，故图像呈阶梯状。
　　随着迭代次数增加，火焰数量递减，每只飞蛾无法选择互不相同的火焰，此时可以随机选择火焰或者飞蛾群体按顺序依次往后选取，类似于取模。两种方式的差别不大。

2.2飞蛾围绕火焰飞行

该步骤是算法的核心计算步骤。
　　对于飞蛾,它围绕火焰飞行后到达的新位置XM_new根据以下公式计算得出：

　　其中 为该飞蛾与该火焰的距离，具体计算应该是对应维度差的绝对值,t为取值范围为(T,1)的均匀随机数，其中T的初始值为-1，并随着迭代次数增加，线性递减至-2,b未找到值，取1。
可以看出其飞行公式来自于螺线公式，不过螺线公式是这样的：

其图像如下

而算法中的飞行轨迹应该是这样的：

当D=2时其图像如下图（修改了下相位，不然是一条直线段了）：

该图像其实不是一条直线，而是多条折线往返于两端点之间。

取出一维看看

其中i为计算次数。

　　图像就是cos函数图像的变形。考虑到飞蛾与火焰之间的距离会越来越短，其飞行图像应该与上图相反，即振幅越来越小，局部搜索能力越来越强。

2.3移动火焰到相应位置

N只飞蛾围绕M个火焰飞行后，会到N个新位置，计算这N个新位置的适应度值，将这N个新位置与M个火焰这（N+M）个位置按优劣排序，并将其中较优的M个位置作为下一轮中火焰的位置。

2.4 总体流程

其飞蛾扑火算法流程图如下：

　　可以看出，飞蛾扑火算法的流程也是非常简单的。不过，这个流程图是不是很眼熟呢？是的，这流程图和蚁狮算法几乎一样。飞蛾扑火算法与蚁狮算法的区别在于：
　　1. 蚁狮数量恒定而火焰数量递减。
　　2. 蚁狮使用随机游走搜索，飞蛾扑火使用螺线搜索。
　　飞蛾扑火算法（2015年5月发表）可以说是对蚁狮算法（2015年1月发表）的一种改进，或者说 飞蛾扑火算法=蚁狮算法+鲸鱼算法

3. 实验

由于飞蛾扑火算法可以说是对蚁狮算法和鲸鱼算法的结合，这里就看看算法的图像，不再做其他处理了。
适应度函数。

实验一：

问题维度(维度)	2
总群数量(种群数)	20
最大迭代次数	50
取值范围	（-100，100）
实验次数	10
b	1

	值
最优值	3.039575731125185E-22
最差值	1.2103078399286082E-12
平均值	1.2103148083869415E-13

从结果看来，飞蛾扑火算法的性能稳定也优于蚁狮算法，从图像看算法收敛性不如蚁狮算法但局部搜索性能要强于蚁狮算法。
　　可见螺线的局部搜索能力还是强于随机游走的，不过其全局搜索要弱于随机游走。相比蚁狮算法，飞蛾扑火算法更容易陷入局部最优（其实与蚁狮差不多，只要火焰/蚁狮陷入局部最优基本完蛋，不过蚁狮数量恒定，火焰数量递减，所有火焰更容易局部最优）。

4. 总结

飞蛾扑火算法是根据飞蛾围绕火焰飞行的行为而提出的算法。算法的结构比较简单，与蚁狮算法类似，只是搜索步骤将随机游走替换成了螺线搜索（当然还有跟多细节上的不同，可以看看原文）。算法的局部搜索能力非常强，依靠螺线就提供了全局搜索和局部搜索能力，其全局搜索和局部搜索能力强弱由其极半径决定，算法中由b决定。不过算法缺少跳出局部最优的能力，在平滑函数中的效果非常好，在局部最优较多的函数中效果中规中矩。

参考文献
Mirjalili S . Moth-flame optimization algorithm: A novel nature-inspired heuristic paradigm[J]. Knowledge-Based Systems, 2015, 89(NOV.):228-249.. 提取码：koy9
以下指标纯属个人yy,仅供参考

指标	星数
复杂度	★★☆☆☆☆☆☆☆☆
收敛速度	★★★★★★★☆☆☆
全局搜索	★★★★★★☆☆☆☆
局部搜索	★★★★★★★☆☆
优化性能	★★★★★★☆☆☆☆
跳出局部最优	★☆☆☆☆☆☆☆☆☆
改进点	★★★★☆☆☆☆☆☆

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