算法|Day47 动态规划15

LeetCode 392- 判断子序列

题目链接：力扣（LeetCode）官网 - 全球极客挚爱的技术成长平台

题目描述：给定字符串 s 和 t ，判断 s 是否为 t 的子序列。

字符串的一个子序列是原始字符串删除一些（也可以不删除）字符而不改变剩余字符相对位置形成的新字符串。（例如，"ace"是"abcde"的一个子序列，而"aec"不是）。

解题思路

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j]。

1. 确定递推公式

两种情况

• • s[i-1] == t[j-1],此时t中找到了一个字符，也在s中出现了，由于dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j]。

故应该是dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1

• • s[i-1] != t[j-1]，此时t中没有找到新的字符也在s中出现，那么就是

dp[i][j] = dp[i][j-1]相当于是删除了当前的下标元素的t中的字符，使其等于前一个没有用当前下标j的字符t的情况。由于dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j]，故dp[i][j-1]表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-2为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j-1],也就是我们没有用j-2这个下标的字符，模拟了删除这个字符的操作。

1. dp数组如何初始化

dp[i][0] 表示以下标i-1为结尾的字符串，与空字符串的相同子序列长度，所以为0. dp[0][j]同理。

1. 确定遍历顺序

依据递推公式可以看出dp[i][j]依赖于dp[i-1][j-1]和dp[i][j-1]故我们从上到下，从左到右遍历即可。

1. 举例推导dp数组

class Solution {
public:
    bool isSubsequence(string s, string t) {
        vector> dp(s.size() + 1, vector(t.size() + 1, 0));
        for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {
                if (s[i - 1] == t[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                else dp[i][j] = dp[i][j - 1];
            }
        }
        if (dp[s.size()][t.size()] == s.size()) return true;
        return false;
    }
};

总结：

• 模拟删除的操作需要好好理解一下

LeetCode 115- 不同的子序列

题目链接：力扣（LeetCode）官网 - 全球极客挚爱的技术成长平台

题目描述：给你两个字符串 s 和 t ，统计并返回在 s 的 子序列 中 t 出现的个数。

题目数据保证答案符合 32 位带符号整数范围。

解题思路

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp[i][j]。

2.确定递推公式

这一类问题，基本是要分析两种情况（s中找t）

• s[i - 1] 与 t[j - 1]相等
• s[i - 1] 与 t[j - 1] 不相等

当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j]可以有两部分组成。

首先不考虑当前的s[i-1]和t[j-1]相等的情况，我们就需要在s[0,i-2]中找t[0,j-1]出现了几次。若考虑他俩相等的情况。也就是在刚刚的基础上再加上dp[i-1][j-1]即为完整的情况。

dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]

当s[i-1]与t[j-1]不相等时

就删除掉s的当前的字符也就是dp=dp[i-1][j]，为什么不删除t中的字符呢，因为我们要找的就是t中字符出现的次数。

3.dp数组如何初始化

dp[i][0]表示什么呢？

dp[i][0] 表示：以i-1为结尾的s可以随便删除元素，出现空字符串的个数。

那么dp[i][0]一定都是1，因为也就是把以i-1为结尾的s，删除所有元素，出现空字符串的个数就是1。

再来看dp[0][j]，dp[0][j]：空字符串s可以随便删除元素，出现以j-1为结尾的字符串t的个数。

那么dp[0][j]一定都是0，s如论如何也变成不了t。

最后就要看一个特殊位置了，即：dp[0][0] 应该是多少。

dp[0][0]应该是1，空字符串s，可以删除0个元素，变成空字符串t。

4.确定遍历顺序

从递归公式其实已经可以看出，从上往下，从左往右

5.举例推导dp数组

class Solution {
public:
    int numDistinct(string s, string t) {
        vector> dp(s.size() + 1, vector(t.size() + 1));
        for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j < t.size(); j++) dp[0][j] = 0;
        for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {
                if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }
        return dp[s.size()][t.size()];
    }
};

总结：

• 这题需要考虑到删除和不删除的情况的加和，不太好想，不过这种两个字符串的题目大多都是在更新的时候考虑是否当前字符相等，然后更新成dp[i-1][j]或者dp[i][j-1]等。