数据结构（三）：栈、队列和数组

第三章 栈、队列和数组

一、栈（Stack）

（一）栈的定义

栈也是一种线性表，只不过对于普通的线性表来说，当我们插入或删除某结点时，可以对任意结点进行插入或删除。但是对于栈这种数据结构来说，我们会限制它的插入和删除操作，插入和删除操作只能在线性表的一端进行。例如我们进行插入操作，只能在表尾的位置进行，而不能在其他的位置进行插入。同样地，如果要删除某数据元素，也只能从表尾进行依次的删除。

就像烤串，往上串的时候，和往下吃的时候的操作。就是栈的插入、删除操作。

重要术语：栈顶、栈底、空栈。

• 空栈：栈里没有存任何数据元素，相当于线性表的空表。
• 栈顶：允许插入和删除的一端。
• 栈底：不允许插入和删除的一端。

特点：后进先出。（Last In First Out，LIFO）

（二）栈的基本操作

创、销：

InitStack(&S)：初始化栈。构造一个空栈S，分配内存空间。

DestroyStack(&S)：销毁栈。销毁并释放栈S所占用的内存空间。

增、删：

Push(&S, x)：进栈，若栈S未满，则将x加入使之成为新栈顶。

Pop(&S, &x)：出栈，若栈S非空，则弹出栈顶元素，并用x返回。

查（栈的使用场景中大多只访问栈顶元素）：

GetTop(S, &x)：读栈顶元素。若栈S非空，则用x返回栈顶元素。

其他常用操作：

StackEmpty(S)：判断一个栈S是否为空。若为空则返回true，否则返回false。

（三）栈的常考题型

给出进栈顺序，如a->b->c->d->e。

问：有哪些合法的出栈顺序？

如果已经进栈完毕，则出栈顺序只能为e、d、c、b、a。

但是，如果出栈操作和进栈操作穿插着进行的话，那么会有很多不同种合法的出栈顺序。比如a进栈后，a出栈；接着，b、c、d依次进栈，d、c出栈；然后e进栈，e、b出栈。

※卡特兰数

对于此类题，有一个一般结论：
$$n个不同元素进栈，出栈元素不同排列的个数为\frac{1}{n+1}{C}_{2n}^n。$$
上述公式称为卡特兰数，可以使用数学证明。

所以，如果像上面那样有五个元素进栈，那么所有合法的出栈顺序有
$$\frac{1}{5+1}{C}_{10}^5=\frac{1}{6}\ast \frac{10\ast 9\ast 8\ast 7\ast 6}{5\ast 4\ast 3\ast 2\ast 1}=42$$
可见，即使只有5个元素进栈，合法的出栈顺序就有42种，就很多了。所以考试题基本不会让你全部写出所有的，而是以选择题的形式让你选出一个合法的出栈顺序。

二、顺序栈

用顺序存储方式实现的栈。（和顺序表是很类似的）

基本操作：创、销、增、删、改、查。

• 创（初始化）
• 增（进栈）
• 删（出栈）
• 查（获取栈顶元素）
• 判空、判满

（一）顺序栈的定义

#define MaxSize 10	//定义栈中元素的最大个数 
typedef struct { 
	ElemType data[MaxSize];	//静态数组存放栈中元素 
	int top;	//栈顶指针，记录的是数组的下标
}SqStack;

void testStack(){
	SqStack S;	//声明一个顺序栈
	//......
}

（二）初始化操作

//初始化栈
void InitStack(SqStack &S) {
	S.top = -1;	//初始化栈顶指针 
}

由于栈空的时候，数组中是没有任何元素的。如果要让栈顶指针指向0，显然是不合适的。所以空栈让栈顶指针的值为-1。

因此，判断是否栈空时，只需要判断它的栈顶指针top是否等于-1就可以，如下。

//判断栈空
bool StackEmpty(SqStack S) {
	if(S.top == -1) return true;	//栈空 
	else return false;		//非空 
}

（三）进栈操作

//新元素入栈
bool Push(SqStack &S, ElemType x) {
	if(S.top == MaxSize-1) return false;	//栈满，报错
	S.top = S.top + 1;	//指针先加1
	S.data[S.top] = x;	//新元素入栈
	return true; 
}

或者写的更简洁一点，如下。

//新元素入栈
bool Push(SqStack &S, ElemType x) {
	if(S.top == MaxSize-1) return false;	//栈满，报错
	S.data[++S.top] = x;	//合并两句 
	return true; 
}

（四）出栈操作

//出栈操作
bool Pop(SqStack &S, ElemType &x) {
	if(S.top == -1) return false;	//栈空，报错
	x = S.data[S.top];	//栈顶元素先出栈
	S.top = S.top - 1;	//指针再减1
	return true; 
}

同上文，此处也可以将其中两句合并成一句更简洁的写法，如下。

//出栈操作
bool Pop(SqStack &S, ElemType &x) {
	if(S.top == -1) return false;	//栈空，报错
	x = S.data[S.top--];	//合并两句
	return true; 
}

（五）读栈顶元素操作

//读栈顶元素
bool GetTop(SqStack S, ElemType &x) {
	if(S.top == -1) return false;	//栈空，报错
	x = S.data[S.top];	//x记录栈顶元素
	return true; 
}

（六）另一种操作方式

初始化时，令栈顶指针指向0，而不是-1。

#define MaxSize 10
typedef struct {
	ElemType data[MaxSize];
	int top;
}SqStack; 

//初始化栈
void InitStack(SqStack &S) {
	S.top = 0;	//初始指向0 
}

//判断栈空
bool StackEmpty(SqStack S) {
	if(S.top == 0) return true;
	else return false;
}

进栈、出栈时。

//新元素入栈
bool Push(SqStack &S, ElemType x) {
	if(S.top == MaxSize) return false;	//判断栈满的条件不同
	S.data[S.top++] = x;	//赋值操作与指针移动操作顺序不同
	return true; 
}

//出栈操作
bool Pop(SqStack &S, ElemType &x) {
	if(S.top == 0) return false;
	x = S.data[--S.top];
	return true; 
}

（七）共享栈

顺序栈的缺点：栈的大小不可变。

• 可以用链式存储的方式进行存储。
• 也可以在初始化的时候就声明一个较大的存储空间。

但我们知道，若一开始就申请较大空间的话，会造成空间的浪费。但是，我们可以通过共享栈的方式，来提高这一大片内存空间的利用率。

共享栈的意思就是，两个栈共享同一片空间。

我们可以设置两个栈顶指针。

#define MaxSize 10	//定义栈中元素的最大个数
typedef struct {
	ElemType data[MaxSize];	//静态数组存放栈中元素
	int top0;	//0号栈栈顶指针
	int top1;	//1号栈栈顶指针 
}ShStack; 

//初始化栈
void InitStack(ShStack &S) {
	S.top0 = -1;
	S.top1 = MaxSize;
}

如果要往0号栈存放数据元素的话，是由下到上依次递增的；

如果要往1号栈存放数据元素的话，是由上到下依次递减的。

这两个栈，从逻辑上来说是两个不同的栈，但是在物理上，它们又共享同一片存储空间。这样就提高了空间利用率。

共享栈也是会满的。判断共享栈是否满了的条件，就是看top0 + 1 == top1。

（八）销毁操作

销毁——清空、回收。

对于本节的顺序栈，它是使用静态数组存放数据元素。我们要清空它，只需要将S.top置于-1即可。因为并没有使用malloc申请动态存储空间。只是以变量声明的方式，那么它会在函数运行结束之后被系统自动回收。

三、链栈

用链式存储方式实现的栈。

基本操作：

• 创（初始化）
• 增（进栈）
• 删（出栈）
• 查（获取栈顶元素）
• 判空、判满

回顾：头插法建立单链表。

本质：对单链表的头结点进行后插操作。

那么这实际上就等同于链栈的进栈操作。

同样，对头结点进行后删操作。

那这种有限制的删除操作，也就是链栈的出栈操作了。

我们只要将头结点的那端看作链栈的栈顶的一端即可。

（一）链栈的定义

和单链表的定义几乎没有什么区别。

typedef struct Linknode {
	ElemType data;	//数据域 
	struct Linknode *next;	//指针域 
}*LiStack;

进栈和出栈操作就对应于单链表的插入和删除操作（只在头结点那一端进行）。

那么对于单链表在头结点处的插入删除，我们在第二章已经讲的很详细了，这里就不再赘述。

和单链表类似。对于链栈，我们也可以实现带头结点的版本，和不带头结点的版本，道理同单链表是一样的。

（二）链栈的实现

两种实现方式：

• 带头结点
• 不带头结点（推荐）

重要基本操作：

• 创（初始化）
• 增（进栈）
• 删（出栈）
• 查（获取栈顶元素）
• 判空、判满。

※※※自己动手写一遍

四、队列（Queue）

（一）队列的定义

队列也是一种操作受限的线性表。

• 栈（Stack）是只允许**在一端进行插入（入栈）或删除（出栈）**操作的线性表。
• 队列（Queue）是只允许**在一端进行插入（入队），在另一端删除（出队）**的线性表。

队列，和它的名字一样，像是一条排队的队列一样。若添加，则插入队尾；若删除，则由队头离开。

特点：先进先出（First In First Out，FIFO）。

重要术语：队头、队尾、空队列

• 空队列：略。
• 队尾：允许插入的一端。此时，队列中最靠近队尾的一个元素叫作队尾元素。
• 队头：允许删除的一端。相应的，最靠近队头的一个元素叫作队头元素。

（二）队列的基本操作

创、销：

InitQueue(&Q)：初始化队列，构造一个空队列Q。

DestroyQueue(&Q)：销毁队列。销毁并释放队列Q所占用的内存空间。

增、删：

EnQueue(&Q, x)：入队，若队列Q未满，将x加入，使之成为新的队尾。

DeQueue(&Q, &x)：出队，若队列Q非空，删除队头元素，并用x返回。

查（队列的使用场景中，大多只访问队头元素）：

GetHead(Q, &x)：读队头元素，若队列Q非空，则将对头元素赋值给x。

其他常用操作：

QueueEmpty(Q)：判队列空，若队列Q为空返回true，否则返回false。

五、队列——顺序实现

用顺序存储实现队列。

基本操作：

• 创（初始化）
• 增（入队）
• 删（出队）
• 查（获取队头元素）
• 判空、判满（进行增/删/查操作前的必要判断）

（一）定义

队列本质上也只是一个操作受限的线性表，所以其定义和栈是类似的，只是多了一个指针。

#define MaxSize 10
typedef struct {
	ElemType data[MaxSize];	//用静态数组存放队列元素 
	int front,rear;	//队头指针和队尾指针 
}SqQueue; 

void testQueue(){
    SqQueue Q;	//声明一个队列（顺序存储）
    //......
}

（二）初始化

我们可以规定，让队头指针指向对头元素；让队尾指针指向队尾元素的后一个位置（接下来应该插入数据元素的位置）。

那么在初始化的时候，我们可以令队头、队尾指针均指向0。

//初始化队列
void InitQueue(SqQueue &Q) {
	//初始时，队头、队尾指针指向0
	Q.rear = 0;
	Q.front = 0; 
}

void testQueue(){
	//声明一个队列（顺序存储） 
	SqQueue Q;
	InitQueue(Q);
	//......
}

那么，在判断队列是否为空的时候，只需判断队头和队尾指针指向是否相等即可。

//判断队列是否为空
bool QueueEmpty(SqQueue Q) {
	if(Q.rear == Q.front) return true;
	else return false;
}

（三）入队操作

把这一次要插入的数据元素，把它放到队尾指针所指向的位置。

把队尾指针加1。

//入队
bool EnQueue(SqQueue &Q, ElemType x) {
	if(队列已满) return false;	//队满则报错
	Q.data[Q.rear] = x;	//将x插入队尾
	Q.rear = Q.rear + 1;	//队尾指针后移
	return true; 
}

那么我们是否可以认为，队列已满的条件，就是rear == MaxSize呢？

并不是这样。

因为，在rear == MaxSize的情况下，若队头出队了一些元素，则队列显然不满。但rear仍然是等于MaxSize的。

同时，接下来的新元素，是要插入到队头元素之前的空位当中的。

那么怎样让队尾指针指向接下来要插入的队头元素前的空位处呢？

只需进行一个取余操作即可，如下。

//入队
bool EnQueue(SqQueue &Q, ElemType x) {
	if(队列已满) return false;	//队满则报错
	Q.data[Q.rear] = x;	//将x插入队尾
	Q.rear = (Q.rear + 1) % MaxSize;	//队尾指针加1取模 
	return true; 
}

例如，MaxSize = 10时，即数组下标为0-9。

此时，若data[9]处入队一元素，其入队后，该队列队尾指针rear = rear + 1变为10，之后进行取余，即10 % 10 = 0，则rear = 0。

例如a % b，也可以表示为a MOD b。

其取余运算的结果只可能是{0, 1, 2, …, b-1}。

模运算实际上是将无限的整数域映射到了有限的整数集合{0, 1, 2, … ,b-1}上。

这样一来，就把我们的一个线状的存储空间，在逻辑上变成了一个环状的存储空间。所以用这种方式实现的队列称为循环队列。

那么此时就可以知道，队列已满的条件为：

队尾指针的下一个位置是队头，即(Q.rear + 1) % MaxSize == Q.front。

此处，有些人会认为。队尾指针指向的就是“接下来应该插入元素的位置”，也就是队尾指针指向的位置是一个空闲空间。那么为什么队尾指针所指向的位置的下一个是队头时，就判满了呢？不是还有一个空间空间吗？如果“真正满了”的话，应该是队尾指针指向队头指针呀。

要知道，队尾指针和队头指针相等，那是我们在初始化队列的时候，让队头指针和队尾指针指向同一个位置的。此外，我们也根据队尾指针与队头指针是否指向同一个位置，来判断队列是否为空。

这样就没办法。所以我们必须牺牲一个存储单元。来将判满与判空区分开来。

（四）出队操作

//出队（删除一个队头元素，并用x返回）
bool DeQueue(SqQueue &Q, ElemType &x) {
	if(Q.rear == Q.front) return false;	//队空则报错
	x = Q.data[Q.front];
	Q.front = (Q.front + 1) % MaxSize;
	return true; 
} 

//获得队头元素的值，用x返回
bool GetHead(SqQueue Q, ElemType &x) {
	if(Q.rear == Q.front) return false;
	x = Q.data[Q.front];
	return true;
}

（五）判断队列已满/已空

方案一：按照上述介绍的方案，即“牺牲一个存储空间以区分队满、队空”：

• 队列已满的条件：队尾指针的再下一个位置是队头，即(Q.rear + 1) % MaxSize == Q.front
• 队空条件：Q.rear == Q.front
• 队列元素的个数：(rear + MaxSize - front) % MaxSize

方案二：但有时在题目中，不允许牺牲那一个存储空间，因此我们要另想一种方案

在队列的结构体类型中，额外定义一个属性int size;，用来表示队列当前长度。

#define MaxSize 10
typedef struct {
	ElemType data[MaxSize];
	int front, rear;
	int size;	//队列当前长度 
}SqQueue; 

刚开始我们将size设为0，之后每次插入一个元素，就size++，每删除一个元素，就size–。

• 队满条件：size == MaxSize
• 队空条件：size == 0

方案三：

在队列的结构类型中，定义一个int tag;，当tag为0的时候，表示最近一次执行的操作是删除操作；当tag为1的时候，表示最近一次执行的操作是插入操作。

#define MaxSize 10
typedef struct {
	ElemType data[MaxSize];
	int front, rear;
	int tag;	//最近一次进行的是删除还是插入。初始化时令tag=0 
}SqQueue; 

那么，也就是每次删除操作后，都将tag置为0；每次插入操作后，都将tag置为1。

• 只有删除操作，才可能导致队空。
• 只有插入操作，才可能导致队满。

因此，当我们将最后一个空位插入元素后，并置tag为1了。这样一来，rear虽然和front相等了，但是也能够和队空的状态区分开来。

• 队满条件：front == rear && tag == 1
• 队空条件：front == rear && tag == 0

（六）队尾指针指向队尾元素

以上所有内容，均为：队头指针指向队头元素，队尾指针指向队尾元素的后一个位置（下一个应该插入的位置）。

那么，有些情况下，是队尾指针指向队尾元素。那么这种情况，在入队操作、出队操作方面会与我们上述介绍的内容有所区别。

区别如下：

若队尾指针指向队尾元素，而不是队尾元素的后一个位置，那么其入队、出队操作如下。

{
	Q.rear = (Q.rear + 1) % MaxSize;
	Q.data[Q.rear] = x;
}

即，入队时应该先移动队尾指针，再插入数据元素。

出队操作，由于队头指针指向的也是队头元素，所以出队操作没有变化。

此外，在初始化的时候，我们就不应该让rear = front = 0了。而是应该让front = 0，而rear指向front的前一个位置，即第n-1号位置（假设队列长度为n）。

同时，其判空操作如下。

{
	(Q.rear + 1) % MaxSize == Q.front;
}

同时，其判满操作，也会由于之前同样的原因而导致与判空混淆。处理方案和之前的处理方案是一个思路。

• 方案一：牺牲一个存储单元。
• 方案二：增加辅助变量（size/tag）。

※此处可以自己动手写一下。

六、队列——链式实现（链队列）

用链式存储实现队列：

• 带头结点
• 不带头结点

基本操作：

• 创（初始化）
• 增（入队）
• 删（出队）
• 查（获取队头元素）
• 判空、判满（进行增/删/查操作前的必要判断）

其实就是单链表的一个阉割版。

（一）定义

typedef struct LinkNode {	//链式队列结点 
	ElemType data;
	struct LinkNode *next;
}LinkNode;

typedef struct {		//链式队列 
	LinkNode *front, *rear;	//队列的队头和队尾指针 
}LinkQueue;

我们在学习单链表的时候，我们要标记一个单链表，其实只需要保存一个头指针L就可以了，因为后续的所有结点都能够由这个头指针往后依次地找到。

但是如果我们只标记一个头结点指针的话，当我们想要在单链表尾部进行插入操作的时候，我们只能从头结点开始依次往后直到找到最后一个结点，然后才能进行插入操作。这样的时间复杂度就有点大了。而对于队列来说，由于我们每次插入元素都只能在表尾的地方进行插入，因此我们可以用一个专门的尾指针指向最后一个结点，这样就不必每次从头结点开始寻找。

因此我们定义一个链式队列的时候，既需要保存它队头的指针，也需要保存它队尾的指针。

分为带头结点和不带头结点两种。

（二）初始化

1.带头结点

//初始化队列（带头结点）
void InitQueue(LinkQueue &Q) {
	//初始时 front、rear 都指向头结点
	Q.front = Q.rear = (LinkNode *)malloc(sizeof(LinkNode));
	Q.front->next = NULL;
}

void testLinkQueue(){
	LinkQueue Q;	//声明一个队列
	InitQueue(Q);	//初始化队列
	//...... 
}

//判断队列是否为空
bool IsEmpty(LinkQueue Q){
    if(Q.front == Q.rear) return true;
    else return false;
}

2.不带头结点

//初始化队列（不带头结点）
void InitQueue(LinkQueue &Q) {
	//初始时front、rear都指向NULL
	Q.front = NULL;
	Q.rear = NULL; 
}

//判断队列是否为空（不带头结点）
bool IsEmpty(LinkQueue Q) {
	if(Q.front == NULL) return true;
	else return false;
}

（三）入队

1.带头结点

//新元素入队（带头结点）
void EnQueue(LinkQueue &Q, ElemType x) {
	LinkNode *s = (LinkNode *)malloc(sizeof(LinkNode));
	s->data = x;
	s->next = NULL;
	Q.rear->next = s;	//新结点插入到rear之后 
	Q.rear = s;		//修改队尾指针 
}

一个新的数据元素想要入队，首先这个数据元素要包含在一个结点当中。因此要申请一个新结点s。接下来，向队尾进行后插即可。

2.不带头结点

//新元素入队（不带头结点）
void EnQueue(LinkQueue &Q, ElemType x) {
	LinkNode *s = (LinkNode *)malloc(sizeof(LinkNode));
	s->data = x;
	s->next = NULL;
	if(Q.front == NULL){	//在空队列中插入第一个元素 
		Q.front = s;	//修改队头队尾指针 
		Q.rear = s;
	} else{
		Q.rear->next = s;	//新结点插入到rear结点之后
		Q.rear = s;	//修改rear指针 
	}
}

注意第一个元素入队时的特殊情况。

（四）出队

1.带头结点

//队头元素出队（带头结点） 
bool DeQueue(LinkQueue &Q, ElemType &x){
	if(Q.front == Q.rear) return false;	//空队列无法出队
	LinkNode *p = Q.front->next;
	x = p->data;	//用变量x返回队头元素
	Q.front->next = p->next;	//修改头结点的next指针
	if(Q.rear == p) {	//此次是最后一个结点出队 
		Q.rear = Q.front;	//修改rear指针 
	}
	free(p);	//释放结点空间
	return true; 
}

需要注意的是，如果出队的结点是最后一个结点，也就是队尾指针rear指向的结点。那么就不能直接将其释放了。而要先修改rear指针，使其指向队头指针front（同时rear == front自然也是空队了），然后再释放结点。否则直接将rear指针指向的内存空间释放掉，就会出现问题。

2.不带头结点

//队头元素出队（不带头结点） 
bool DeQueue(LinkQueue &Q, ElemType &x){
	if(Q.front == NULL) return false;	//空队
	LinkNode *p = Q.front;	//p指向此次出队的结点
	x = p->data;	//用变量x返回队头元素
	Q.front = p->next;	//修改front指针
	if(Q.rear == p) {	//此次是最后一个结点出队 
		Q.front = NULL;	//front指向NULL 
		Q.rear = NULL;	//rear指向NULL 
	}
	free(p);	//释放结点空间
	return true; 
}

同样地，若出队的是最后一个结点，也要将front和rear均指向NULL，恢复成空队的状态。

注意最后一个元素出队时的情况。

（五）队列满的条件（不会满）

之前顺序存储实现的队列，由于是用静态数组分配的，其空间是有限的、不可拓展的，所以其最大空间被耗尽时队满。

而此处用链式存储实现的队列，它的容量是可以扩展的，一般不会队满，除非内存不足。

因此，在顺序存储的队列当中，我们花了很多办法去判断队列是否已满；而在链式存储实现的队列当中，我们一般不用关心已满的问题。

（六）队列的长度

只能从队头结点开始依次往后遍历，统计出来到底有多少个结点。

那么，如果你的队列长度这个信息，是你需要经常的、频繁的访问到的话，其实你可以在队列的结构类型中增加一个int length;的额外变量，用来专门记录当前队列到底有多少个元素。

数据结构不是一些教条化的规定。而是寻求解决问题的手段，你的实际问题需要处理哪些数据，就因地制宜的、灵活的添加一些你需要的东西。

课程中按照某些方法来讲，是因为那些方法是较核心的，不代表就要局限于那些讲述的方法。

七、双端队列

（一）双端队列的定义

双端队列也是一种操作受限的线性表。

• 栈：只允许从一端插入和删除的线性表
• 队列：只允许从一端插入、另一端删除的线性表
• 双端队列：只允许从两端插入、两端删除的线性表

若对于一个双端队列，我只使用其中一端的插入、删除操作，那么我的使用效果就等同于使用一个栈。

也就是说，栈能够实现的功能，双端队列一定能实现。

队列同理。

介于队列和双端队列之间，或者说是由双端队列引申出的两种特殊的双端队列：

• 输入受限的双端队列：只允许从一端插入、两端删除的线性表
• 输出受限的双端队列：只允许从两端插入、一端删除的线性表

双端队列也可以说是队列的一个变种。类似于栈的变种——共享栈。

（二）考点

此处双端队列比较喜欢考察的考点，就是判断输出序列的合法性。（类似于栈那里的考点）

例如：

若数据元素输入序列为1， 2， 3， 4，则哪些输出序列是合法的，哪些是非法的？

首先，对于1,2,3,4这四个数字，其全部不同的排列组合
$$A_4^4=4!=24$$
共有24种。逐个分析。（一般也是选择题了）

由于栈能实现的功能，双端队列一定能够实现。因此，栈能够实现的合法序列，也一定是双端队列能实现的合法序列。

根据可特兰数公式可知，栈的合法序列
$$\frac{1}{n+1}{C}_{2n}^n=\frac{1}{4+1}{C}_8^4=14$$
共有14种。

输入受限的双端队列的合法序列？

输出受限的双端队列的合法序列？

关键思路：

拿着选项给你的序列，认真分析其顺序的合法性，是没问题的。

但是可以有更快的思路。某一个元素若要出栈，则说明入栈顺序在其之前的元素已经入栈过了，那么就可以根据这一点进行一些排除。

例如，入栈顺序为1,2,3,4。

对于出栈顺序为3,x, x, x的序列来说，除了认真的分析以外。

还可以直接这样判断：由于3是第一个出栈的，则说明1、2已经按照1在前、2在后的顺序进栈过了。则1和2若要出栈，从出栈顺序来说，2必然在1之前。

那么，出栈序列像：3,1,4,2或3,1,2,4这种的，可直接排除掉。

八、栈和队列的应用

（一）栈的应用——括号匹配问题

1.问题分析

在我们写代码的过程中，不论是大括号、小括号，还是中括号，它们总是成双成对的出现的。

我们如果只写了左括号，而没有写与它对应的右括号，那么编辑器就会检测出来错误。

此外，左括号、右括号除了在数量上要匹配以外，在形状上也要匹配。

例如：
$$（（（（））））$$

$$①②③④④③②①$$

从我们人脑的角度来看，一眼就会看出，中间有个对称轴，两边依次是一组组匹配的括号。

但是从计算机的角度来思考，它应该是从左往右依次遍历，进行处理的。因此，最后出现的左括号（即④号），是将会最先被左括号所匹配的。

因此，不难想到，我们用栈来实现它，是比较契合的。因为栈具有后进先出（LIFO）的特性。

再例如：
$$（（（））（））$$

$$①②③③②④④①总之，每出现一个右括号，就“”$$

总之，每出现一个右括号，就“消耗”（出栈）一个左括号。

即，遇到左括号就入栈，而遇到一个右括号的时候，就将栈顶的一个左括号出栈，并在出栈后检验其形状是否匹配。

一些不匹配的情形：

• 若左括号出栈后，与当前遍历到的右括号形状不匹配，则说明这一串括号是非法的，再之后的也不用继续检验了。（左右括号不匹配）
• 若遇到右括号时，将要把栈顶左括号出栈，但是栈为空，则也说明这一串括号是非法的。（右括号单身）
• 若所有右括号全部遍历完毕且形状能够匹配，而栈中还有剩余的左括号，则也说明这一串括号是非法的。（左括号单身）

2.算法实现

#define MaxSize 10	//定义栈中元素的最大个数 
typedef struct {
	char data[MaxSize];	//静态数组存放栈中元素 
	int top;		//栈顶指针 
}SqStack;

//初始化栈 
void InitStack(SqStack &S);
//判断栈是否为空
bool StackEmpty(SqStack S);
//新元素入栈
bool Push(SqStack &S, char x);
//栈顶元素出栈，用x返回
bool Pop(SqStack &S, char &x);

bool bracketCheck(char str[], int length) {
	SqStack S;
	InitStack(S);	//初始化一个栈
	for(int i=0;i<length;i++) {
		if(str[i] == '(' || str[i] == '[' || str[i] == '{'){
			Push(S, str[i]);	//扫描到左括号，入栈 
		} else{
			if(StackEmpty(S)){
				return false;	//若扫描到右括号，但栈空，则失败 
			}
			char topElem;
			Pop(S, topElem);	//栈顶元素出栈
			if(str[i] == ')' && topElem != '(') return false;
			if(str[i] == ']' && topElem != '[') return false;
			if(str[i] == '}' && topElem != '{') return false;
		}
	}
	return StackEmpty(S);	//若所有括号匹配完毕且合法后，栈空，则说明全部成功匹配完毕 
}

注意一个小问题：

由于我们要写的是括号匹配的算法实现，使用栈这种数据结构。

关键是要说明其中通过栈进行括号匹配的算法逻辑。

那么其中，栈的初始化、判空、入栈、出栈等操作，就可以不写详细细节，而直接使用。但是还是要简要声明操作函数的接口。用注释讲明其大概作用。

这种方法是用顺序存储的方式，有可能存满。其实实际开发的时候还是使用链栈为好。但是在考试的时候，使用顺序栈去写会更简单，也没什么问题。

（二）栈的应用——表达式求值

1.概述

（1）三种算术表达式

• 中缀表达式
• 后缀表达式
• 前缀表达式

（2）后缀表达式相关考点

• 中缀表达式转后缀表达式
• 后缀表达式求值

（3）前缀表达式相关考点

• 中缀表达式转前缀表达式
• 前缀表达式求值

2.大家熟悉的算术表达式

$$（（15÷（7-（1+1）））\times 3）-（2+（1+1））$$

它实际上是中缀表达式。

由三个部分组成：

• 操作数：就是这些数字
• 运算符：就是加减乘除
• 界限符：就是这些括号

其关键在于，要知道这当中的运算符的执行顺序。
$$（（15÷（7-（1+1）））\times 3）-（2+（1+1））$$

$$--③-②-①----④--⑦--⑥--⑤$$

如果把括号全部去掉，那么运算符的执行顺序当然会发生改变。
$$15÷7-1+1\times 3-2+1+1$$

$$--①-②-④-③-⑤-⑥-⑦$$

不难看出，对于中缀表达式，界限符的存在是必须、必要的，若去掉这些界限符，我们就不能正确的表示出各个运算符生效的次序。

有一个波兰的数学家就想：能不能不用界限符也能无歧义地表达运算顺序呢？

• Reverse Polish notation（逆波兰表达式 = 后缀表达式）
• Polish notation（波兰表达式 = 前缀表达式）

3.中缀、后缀、前缀表达式

• 中缀表达式

中缀表达式，它的运算符是在两个操作数中间。

例1：a+b。

例2：a+b-c

例3：a+b-c*d

• 后缀表达式

后缀表达式，它的运算符是在两个操作数后面。

注意：这两个操作数的顺序，是不能随意颠倒的。如果是加法、乘法还好，但是减法、除法运算，就不行了。例如ab/就不能是ba/

例1：ab+

例2：ab+c- 或 abc-+ （可以看出，同一个中缀表达式，可以转换为多种不同的后缀表达式）

例3：ab+cd*-

• 前缀表达式

前缀表达式，它的运算符是在两个操作数前面。

例1：+ab

例2：-+abc（前缀表达式同理，也可转为多种不一样的形式，此处不再赘述）

例3：-+ab*cd

4.中缀表达式转后缀表达式（手算）

中缀转后缀的手算方法：

①确定中缀表达式中各个运算符的运算顺序。

②选择下一个运算符，按照「左操作数 右操作数 运算符」的方式组合成一个新的操作数。

③如果还有运算符没被处理，就继续②。

如：
$$（（15÷（7-（1+1）））\times 3）-（2+（1+1））$$

$$--③--②--①--④--⑦--⑥--⑤$$

将其写为后缀表达式，如下：
$$15711+-÷3\times 211++-$$

$$---------①--②--③--④-----⑤--⑥--⑦$$

发现一个规律：中缀表达式中，运算符生效的次序，在转化为后缀表达式后，其次序是从左到右依次生效的。

此外：由中缀表达式转为后缀表达式，由于中缀表达式的实际运算次数是不唯一的，所以后缀表达式的写法是不唯一的。

例如：
$$A+B\ast (C-D)-E/F$$

$$--③--②--①--⑤--④$$

那么按照这种中序表达式运算符的顺序，其对应的后续表达式为：
$$ABCD-\ast +EF/-$$

$$------①--②--③----④--⑤$$

但如果对中序表达式执行另一种不同的运算顺序：
$$A+B\ast (C-D)-E/F$$

$$--⑤--③--②--④--①$$

那么其对应的后续表达式为：
$$ABCD-\ast EF/-+$$

$$--------②--③----①--④--⑤$$

这两个后缀表达式的结果，肯定都是正确的，表达的都是同一个中缀表达式。

但是，如果我们要用计算机来实现中缀转后缀的算法的话，我们只应该得到一种输出结果（因为算法应该具有确定性，即同样的输入只能得到同样的输出），那么实际上，用算法实现的结果，应该是前一种后缀表达式的结果。

那么，怎样能够保证得到的是前一种后缀表达式的结果呢？

“左优先”原则：只要左边的运算符能先计算，就优先算左边的。

例如上面那个式子，我一上来可以先计算C-D，也可以先计算E/F，但是由于C-D是在左边的，所以优先计算C-D，这就是左优先原则。

通过左优先原则，可以保证中缀表达式的运算顺序是唯一的，因此便可以保证后缀表达式的结果是唯一确定的。

对于左优先原则，举个例子，如下：
$$A+B-C\ast D/E+F$$

很多人可能一上来会先算C*D，然后算/E，最后再进行加减法。

但是若要遵循左优先原则，即左边的运算符若能先计算，就先计算左边的。那么一开始应该先计算A+B。之后，由于减法不能先算了，那么第二步应该算乘法，第三步除法，第四步减法，最后+F。

得到

$$AB+CD\ast E/-F+$$

5.后缀表达式的计算（手算）

如果我们有一个后缀表达式，该如何对它的最终结果进行计算？

此处，我们将中缀和后缀放在一起对比着看：
$$（（15÷（7-（1+1）））\times 3）-（2+（1+1））$$

$$15711+-÷3\times 211++-$$

对于下面的后缀表达式，我们应该

• 从左往右扫描，看到的第一个运算符是+，那么我们便首先看到1 1 +的部分，将其进行运算，并在运算过后合并为一个操作数。
• 从左往右扫描，看到第二个运算符是-，那么我们将刚才的结果，和7进行加法运算。
• 之后同理。

总结

后缀表达式的手算方法：

从左往右扫描，每遇到一个运算符，就让运算符前面最近的两个操作数执行对应运算，合体为一个操作数。

直到最终，所有操作数都合体成为一个操作数，且已经没有操作符了，表达式的结果就计算完毕了。

注意两个操作数的左右顺序。

由于每遇到一个运算符，就让运算符前面最近的两个操作数执行对应运算。因此，其具有后进先出的特点，用栈来实现是比较契合的。

6.后缀表达式的计算（机算）

用栈实现后缀表达式的计算：

①从左往右扫描下一个元素，直到处理完所有元素。

②若扫描到操作数，则压入栈，并回到①；否则执行③。

③若扫描到运算符，则弹出两个栈顶元素，执行相应运算，运算结果压回栈顶，回到①。

注意：先出栈的是“右操作数”。

若表达式合法，则最后栈中只会留下一个操作数，就是后缀表达式的计算结果。

对于后缀表达式来说，计算机无需关心哪个操作数是先生效，哪个是后生效的。只需从左往右扫描，先扫描到的就是先生效的，很适合计算机去操作

**思考：**后缀表达式怎么转中缀？

也很简单，从左往右扫描，该加括号的加上括号。注意左右顺序即可。

7.中缀表达式转前缀表达式（手算）

中缀转前缀的手算方法：

①确定中缀表达式中各个运算符的运算顺序。

②选择下一个运算符，按照「运算符 左操作数 右操作数」的方式组合成一个新的操作数。

③如果还有运算符没被处理，就继续②。

例如：
$$A+B\ast (C-D)-E/F$$

①先判断中缀表达式的各个运算符的运算顺序。（③–②--①–⑤--④）

②依次进行前缀组合，如第一步，-CD。并将其视作一个整体。

③直到所有运算符均处理完毕，停止。

$$-+A\ast B-CD/EF$$

到此，观察这个前缀表达式，运算符的执行次序依次为：（⑤–③--②–①--④），你会发现不论是从左往右，还是从右往左，它都是没有次序的。

那么类似于后缀表达式的原则，此处也有一个原则，如下。

“右优先”原则：只要右边的运算符能先计算，就优先算右边的。

那么，按照右优先的原则，过程应该如下：

①按照右优先原则判断各个运算符的运算顺序。（⑤–③--②–④--①）

②③略。

得到的结果为：
$$+A-\ast B-CD/EF$$
对于这个前缀表达式，可以看出，其运算符的执行次序，是从右至左依次生效的（⑤–④--③–②--①）。

8.前缀表达式的计算

用栈实现前缀表达式的计算：

①从右往左扫描下一个元素，直到处理完所有元素。

②若扫描到操作数，则压入栈，并回到①；否则执行③。

③若扫描到运算符，则弹出两个栈顶元素，执行响应运算，运算结果压回栈顶，回到①。

注意：先出栈的是“左操作数”。

9.※中缀表达式转后缀表达式（机算）

初始化一个栈，用于保存暂时还不能确定运算顺序的运算符。

从左到右处理各个元素，直到末尾。可能遇到三种情况：

• 遇到操作数。直接加入后缀表达式。
• 遇到界限符。遇到“（”直接入栈；遇到“）”则依次弹出栈内运算符并加入后缀表达式，直到弹出“（”为止。注意：“（”不加入后缀表达式。
• 遇到运算符。依次弹出栈中优先级高于或等于当前运算符的所有运算符，并加入后缀表达式，若碰到“（”或栈空则停止。之后再把当前运算符入栈。

按上述方法处理完所有字符后，将栈中剩余运算符依次弹出，并加入后缀表达式。

实际上，中缀表达式转后缀表达式，其中操作数的前后顺序是不会改变的，改变的是运算符的先后顺序。我们用栈就是用来确定运算符的运算顺序。

对于优先级：乘除的优先级是高于加减的。乘与除、加与减的优先级是相等的。当然，在数学中可能还有其他运算符。但在此处我们只考虑加减乘除。

对于其中运算符入栈、出栈的逻辑分析：

对于中缀表达式来说，如
$$A+B-C\ast D/E+F$$
可以看到，每个操作数的左右两边都是有一个运算符的（除了头尾两个）。那么，当扫描到第二个运算符，即减号时，由于之前存入栈中的加号和它的优先级是相等的，也就是说，当扫描到减号时，我可以放心的让加号先出来，让加法先生效。

反之，若当前扫描到了第三个运算符，即乘号。此时，栈中存放一个减号，那么我就不能让减号先出来进行生效。因为，若减号弹出栈去生效的话，减法就比乘法先生效了，这并不符合运算的规则。

那么，既然减法不能弹出进行生效，那么我的乘法能不能直接去生效？也是不行的。因为如果乘法后面刚好有一个界限符，即括号的话，乘法也是不能先生效的。所以，总之也要先将乘法压入栈中。

再往后，扫描到了除号。此时栈顶元素是乘法。同样的道理，可以放心的让乘法先生效。

同理，除法能直接生效吗？也不能，因为不能确定除法后面有没有括号。所以除法也要先压入栈中。

最后，扫描到了加号。检查栈中元素，依次弹出除号、减号。

最终得到后缀表达式，如下
$$AB+CD\ast E/-F+$$

再看一个带有界限符，即带有括号的例子：

中缀表达式如下
$$A+B\ast (C-D)-E/F$$
从左到右扫描。

• 加号入栈。
• 遇到乘法，检查栈中元素，只有一个加号，则加号不能出栈进行生效，否则加号优先于乘法生效了，不符合运算规则。乘号入栈。
• 遇到左括号，说明在它之前的一切运算符，优先级都是偏低的，因此不必检查栈中元素的优先级，而直接将左括号入栈。
• 遇到减号，依次扫描栈中优先级高于或等于它的运算符，遇到左括号或栈空时停止。而此时栈顶元素即为左括号，所以停止。并将减号入栈。
  • 此处的逻辑为，遇到减号时扫描栈，发现栈顶就是左括号，则说明减号左边的这个操作数，这个操作数的左边就是一个左括号，那么即将要做的事就是优先计算左右括号里面的表达式。所以扫描到左括号时停止。左括号就像空栈一样作为一个小的界限。同时，由于减法只是这个括号中的一个运算符，并不确定括号中是否还有其他运算符，如乘法，所以减法也不能立即生效，而要先入栈。
  • 即，确定不了运算顺序的运算符都要先入栈。
• 遇到右括号，依次弹出栈内运算符，直到弹出左括号为止。即弹出减号，之后遇到左括号停止。
  • 此处的逻辑为，当扫描到右括号时，就已经确定了这个小界限的范围了，括号内的内容整体是作为一部分优先计算的内容，所以我们可以直接的将栈中左括号之前的运算符全部弹出生效。
• 之后的减法，除法不再赘述。

最终得到后缀表达式
$$ABCD-\ast +EF/-$$

10.中缀表达式的计算（用栈实现）

即中缀转后缀+后缀表达式求值，这两个算法的结合。

用栈实现中缀表达式的计算：

• 初始化两个栈，操作数栈和运算符栈。
  • 操作数栈：用于存放当前暂时还不能确定运算次序的操作数。
  • 运算符栈：用于存放当前暂时还不能确定运算次序的操作符。
• 若扫描到操作数，压入操作数栈。
• 若扫描到运算符或界限符，则按照“中缀转后缀”相同的逻辑压入运算符栈
  • 期间也会弹出运算符。每当弹出一个运算符时，就需要再弹出两个操作数栈的栈顶元素并执行相应运算，运算结果再压回操作数栈。
  • 因为，你弹出一个运算符，就意味着要将这个运算符之前的两个操作数（此处的操作数也可以是已经完成某些运算的小整体）生效此运算。自然要弹出操作数栈的两个栈顶元素，求值后压回。
  • 要注意，对于后缀表达式，操作数栈先弹出的是右操作数。

需要关注的一点是，此处这一系列逻辑，实际上是将中序表达式这样混合起来的运算表达式，转化为了有条理的，按照某个确定顺序，且每次只执行一个运算操作，最终得出正确结果的运算。

也就是需要把一个复杂的式子，拆解成一次又一次确定的、简单的，计算机能够执行的程序。

因此，将
$$A+B-C\ast D/E+F$$
这样的式子，翻译成与它等价的机器指令的时候。

就需要用到此处中缀表达式的计算的这一系列思想和方法。是一个很重要、很有价值的思想方法。

（三）栈的应用——递归

递归函数就是调用它自身的一个过程。

1.普通函数调用背后的过程

void main(){
	int a,b,c;
	//...
	func1(a,b);
	c = a + b;
	//......
}

void func1(int a, int b){
	int x;
	//...
	func2(x);
	x = x + 100;
	//......
}

void func2(int x){
	int m,n;
	//......
}

在main执行的过程中，遇到了func1函数，于是转过去执行func1，在执行的过程中，遇到func2函数，于是转过去执行func2。

当func2执行结束后，func1的下一步便可以继续执行，直到func1全部结束。

当func1执行结束，main函数便得以继续进行，直到全部结束。

可以看到，函数调用的特点：最后被调用的函数最先执行结束（LIFO）。

就和栈的后进先出是一样的。

实际上，在我们的任何一段代码执行之前，系统都会给我们开辟一个函数调用栈，用来保存各个函数在调用过程中必须保存的一些信息。

函数调用时，需要用一个栈存储：

①调用返回地址

②实参

③局部变量

这也就是为什么，main函数中写了a，b两个参数，而调用func1函数的形参也是a，b，但却影响不到main函数中相应变量的值。这是因为func1函数调用时，是另外存储了其参数a，b的，这与刚刚main函数中的a，b并不是同一个。

返回地址就是指，在原函数中，执行完这个小函数后的下一操作语句的地址。

即对于main函数中，执行到func1(a，b)，那么func1函数的函数调用栈中要存放参数a，b及局部变量x，还要存放main函数在下一句该执行的语句c=a+b的地址。这样一来，当func1函数结束后，会找到这个返回地址以使得程序继续运行。

2.栈在递归中的应用

适合用递归算法解决的：可以把原始问题转化为属性相同，但规模较小的问题。

对于递归算法，要有两个关键要素：

• 递归表达式（递归体）
• 边界条件（递归出口）

此处主要讨论的是递归算法与栈之间的联系，并不过多关注递归算法的具体实现。

例1.递归算法求阶乘

//计算正整数 n！
int factorial(int n) {
	if(n == 0 || n == 1) return 1;
	else return n * factorial(n-1);
}

int main(){
	//...
	int x = factorial(10);
	//......
}

递归调用时，函数调用栈可称为“递归工作栈”。

每进入一层递归，就将递归调用所需信息压入栈顶。

每退出一层递归，就从栈顶弹出相应信息。

因此，如果递归的层数过多，便会产生过多的栈，可能会导致栈溢出。

因为我们的内存资源，或者说系统给我们开辟的函数调用栈，肯定是有一个存储的上限的。

此处可以再次回顾：递归算法的空间复杂度的问题。

因此，可以自定义一个栈，将递归算法改造成非递归算法，然后在自己定义的栈中实现这个逻辑上的“递归”。

例2.递归算法求斐波那契数列

int Fib(int n) {
	if(n == 0) return 0;
	else if(n == 1) return 1;
	else return Fib(n-1)+Fib(n-2);
}

int main(){
	//...
	int x = Fib(4);
	//......
}

此处和上面的阶乘算法，又有所不同。

当算法return Fib(n-1) + Fib(n-2)时，会先将Fib(n-1)执行至最深层，最后全部返回上来后，再轮到Fib(n-2)的执行。同时，由于Fib(n-1)与Fib(n-2)实际上只相差了1，也就是说，例如计算Fib(4)+Fib(3)时，实际上有很大一部分是执行了两遍的（在Fib4中执行过后，Fib3中又执行了一遍）。

因此，递归算法可能包含很多重复计算。

总之，栈的缺点大致为：

• 效率低，太多层递归可能会导致栈溢出
• 可能包含很多重复计算

可以自定义栈，将递归算法改造成非递归算法。

（四）队列应用——树的层次遍历

注：在“树”的章节中会详细学习。

例如有这样一棵树：
$$\begin{gathered} 1 \\ /| \\ 23 \\ /|/| \\ 4567 \\ /|/| \\ 891011 \end{gathered}$$
对于树的层次遍历，就是对每一层，从左到右依次遍历。

这棵树的层次遍历即为：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪。

那么如何用队列实现呢？

先初始化一个队列，之后，由树的头结点开始：

• 遍历结点①，入队，并将其左孩子、右孩子入队。
  • ①->②->③
  • 此时，遍历完毕①号结点，①出队。
  • 出队情况：①
  • 队列情况：②->③
• 遍历结点②，将其左孩子、右孩子入队。
  • ②->③->④->⑤
  • 此时，遍历完毕②号结点，②出队。
  • 出队情况：①②
  • 队列情况：③->④->⑤
• 遍历结点③，将其左孩子、右孩子入队。
  • ③->④->⑤->⑥->⑦
  • 此时，遍历完毕③号结点，③出队。
  • 出队情况：①②③
  • 队列情况：④->⑤->⑥->⑦
• 遍历结点④，其没有左右孩子。
  • ④->⑤->⑥->⑦
  • 此时，遍历完毕④号结点，④出队。
  • 出队情况：①②③④
  • 队列情况：⑤->⑥->⑦
• 遍历结点⑤，将其左右孩子入队。
  • ⑤->⑥->⑦->⑧->⑨
  • 此时，⑤出队。
  • 出队情况：①②③④⑤
  • 队列情况：⑥->⑦->⑧->⑨
• 以此类推。

（五）队列应用——图的广度优先遍历

注：在“图”章节中会详细学习。

例如有一个图，如下
$$\begin{gathered} 2-16-8 \\ ||/|/| \\ 43-5-7 \end{gathered}$$

• 假设由①结点出发，检查其相邻结点，即②或③，看是否已被遍历过，都没有被遍历过，则加入队尾。
  • ①->②->③
  • 此时，①遍历完毕，①出队。
  • 出队情况：①
  • 队列情况：②->③
• 遍历至②结点，同样，看其相邻结点有没有被遍历过，没有遍历过的加入队尾。
  • ②->③->④
  • 此时，②出队。
  • 出队情况：①②
  • 队列情况：③->④
• 遍历至③。
  • ③->④->⑤->⑥
  • ③出队。
  • 出队情况：①②③
  • 队列情况：④->⑤->⑥
• 遍历至④，显然，与④相邻的结点都已被遍历过，则直接将④出队。
  • ④出队
  • 出队情况：①②③④
  • 队列情况：⑤->⑥
• 遍历至⑤。
  • ⑤->⑥->⑦->⑧
  • ⑤出队。
  • 出队情况：①②③④⑤
  • 队列情况：⑥->⑦->⑧
• 后续的遍历，均不会再加入任何“没有被遍历过”的新的结点，因此之后均依次出队。
  • 最终得到出队情况：①②③④⑤⑥⑦⑧
  • 此时队列为空。

（六）队列在操作系统中的应用

多个进程争抢着使用有限的系统资源时，FCFS（First Come First Service，先来先服务）是一种常用策略。

就是哪个进程先申请，就让哪个进程先进行服务。

这与队列的先进先出是契合的。因此可用队列实现。

例如：CPU资源的分配。

例如：打印机的待打印队列。

九、矩阵的压缩存储

• 数组的存储结构
  • 一维数组
  • 二维数组
• 特殊矩阵
  • 对称矩阵
  • 三角矩阵
  • 三对角矩阵
  • 稀疏矩阵

（一）一维数组

ElemType a[10]; //ElemType型一维数组

$$内存：a[0]a[1]a[2]a[3]a[4]a[5]a[6]a[7]a[8]a[9]$$

各数组元素大小相同，且物理上连续存放。

因此，只需要知道其起始地址，就可以知道任何一个数组下标所对应元素的存放地址是多少。

起始地址LOC

数组a[i]的存放地址为LOC + i * sizeof(ElemType) (0≤i<10)

注：除非题目特别说明，否则数组下标默认从0开始。要注意审题。

（二）二维数组

ElemType b[2][4]; //2行4列的二维数组

$$\begin{gathered} 逻辑： \\ b[0][0]b[0][1]b[0][2]b[0][3] \\ b[1][0]b[1][1]b[1][2]b[1][3] \end{gathered}$$

在内存空间中存储时，由于要进行线性存储，因此要将逻辑上的非线性给改变为线性的存储模式。因此，有两种存储策略：行优先存储、列优先存储。

行优先存储即先从左到右将第一行元素依次存储，再将第二行元素依次存储。列优先存储道理是类似的。
$$\begin{gathered} 行优先存储，内存：b[0][0]b[0][1]b[0][2]b[0][3]b[1][0]b[1][1]b[1][2]b[1][3] \\ 列优先存储，内存：b[0][0]b[1][0]b[0][1]b[1][1]b[0][2]b[1][2]b[0][3]b[1][3] \end{gathered}$$
同样地，只要知道起始地址LOC，也可知道任何一个元素的存放地址。（当然，要知道是按行优先存储还是列优先存储的）

M行N列的二维数组b[M][N]中，

• 若按行优先存储，则

b[i][j]的存储地址 = LOC + (i*N + j) * sizeof(ElemType)

即每一行有多少个元素，乘它前面有多少行，再加上它位于第几列。

• 若按列优先存储，则

b[i][j]的存储地址 = LOC + (j*M + i) * sizeof(ElemType)

即每一列有多少个元素，乘它前面有多少列，再加上它位于第几行。

（三）普通矩阵的存储

最容易想到的就是用一个二维数组存储。

注意：描述矩阵元素时，行、列号通常从1开始；而描述数组时通常下标从0开始。因此要具体看题目所给条件，要注意审题。

这是对于普通矩阵的存储。

而对于某些特殊的矩阵，我们可以用一些巧妙的办法来压缩其存储空间。

特殊矩阵如：对称矩阵、三角矩阵、三对角矩阵、稀疏矩阵。

（四）对称矩阵的压缩存储

若n阶方阵中任意一个元素a(i, j)，都有a(i, j) = a(j, i)，则该矩阵为对称矩阵。

也就是以主对角线为对称轴，两侧对应元素的值相等。

其中，对称轴上方的区域（ij）称为下三角区。

由于上三角区和下三角区的数据是完全相同的，因此我们在存储数据的时候，只需要存储主对角线及上下某一个三角区即可。

以只存储主对角线与下三角区为例。

按行优先原则将各元素存入一维数组中。（第一行存1个数据，第二行存2个数据，第三行存3个数据…）

思考：

• 数组大小应为多少？

  • 第一行1个，第二行2个，第n行n个。等差数列求和。即(1+n)*n/2。
  • 那么这个一维数组的下标也就是由0到(1+n)*n/2-1。

• 站在程序员的角度，对称矩阵压缩存储后怎样才能方便使用？

  • 因为，我们存储数据的目的，还是最后要用这些数据。

    当你在用这些数据的时候，从你的视角，你肯定是想看到一个矩阵，而不是看到一个一维数组。

    你肯定是想由矩阵的下标，例如a(3, 2)，来访问到相应的元素，而不是直接使用一维数组的某个下标。

    对于这个问题，你可以自己实现一个“映射”函数，填入行号、列号，让函数自动计算其对应于一维数组中的下标，并将其中数据返回，即可。

  • 那么，怎样把矩阵的行号、列号，正确的映射为与之对应的一维数组的下标？

    即a(i, j) (i>j) → B[k]

    关键在于：按行优先的原则，a(i, j)是第几个元素？

    a(i, j)是第i行、第j列。

    在其前面有i-1行。之前我们说了，第一行有1个元素，第二行有2个元素…

    所以在其前面有：[1+2+…+(i-1)]个元素

    又因为它是第j列，所以

    它是一维数组中第[1+2+...+(i-1)] + j个元素。

    由于数组下表k是从0开始的，所以上面的结果再减1即可。

  • 如果要访问的是上三角区的元素怎么办？

    虽然我们没有把上三角区的元素实际存放起来，但是由于对称矩阵拥有这样一个特性。所以我们可以将其行号和列号对调，之后再按照访问下三角区域的元素的方法访问即可。

注意：这些东西，要理解其是如何推导得到的，而不要去背。知道如何推导，那么，无论是行优先，还是列优先，无论是存放上三角，还是下三角，自己都可以正确的推导出结果。

例如从不同的角度来出题：

• 存储上三角？存储下三角？
• 行优先？列优先？
• 矩阵元素的下标从0开始？
• 数组下标从0开始？从1开始？

（五）三角矩阵的压缩存储

下三角矩阵：除了主对角线和下三角区，其余的元素都相同（常量C）。

上三角矩阵：除了主对角线和上三角区，其余的元素都相同（常量C）。

压缩存储策略：按行优先原则将下三角区域/上三角区域存入一维数组中。并在最后一个位置存储常量C。

总共所需的空间大小为：(1+2+...+n)+1

因此，若访问的是均为常量的那半个区域的话，其在一维数组中的访问位置，应该直接映射至一维数组的最后一位。

（六）三对角矩阵的压缩存储

三对角矩阵，又称带状矩阵：

当| i - j | > 1时，有a(i, j) = 0 （i ≥ 1，j ≤ n）

压缩存储策略：按行优先（或列优先）原则，只存储带状部分。

总共所需的空间大小？

不难发现，对于带状矩阵，除了第一行、最后一行是两个数据元素外，其余的行都是三个数据元素。

因此其所存储的元素个数为3n-2个。

怎么把a(i, j)映射到与之对应的一维数组下标处？

若|i - j| > 1，其值肯定是0。

反之则去数组里面找。

按行优先的原则，a(i, j)是一维数组中的第几个元素？

它是第i行，在它前面有i-1行，共3(i-1)-1个元素。

而且它是第i行的第j-i+2个元素。

所以a(i, j)是第2i+j-2个元素。

数组下标若从0开始，则以上数字均需减1。

反过来考虑，假设我们已知一维数组下标k，如何得知其在矩阵中的行、列，即i、j？

由于数组下标是从0开始的，因此下标k的元素是第k+1个元素。

第k+1个元素在第几行、第几列？

设其在第i行、第j列。

前i-1行共3(i-1)-1个元素。

所以显然，3(i-1)-1 < k+1 ≤ 3i-1

根据这个不等式，将i解出即可。同时j也轻易能够得出了。

（七）稀疏矩阵的压缩存储

稀疏矩阵：非零元素远远少于矩阵元素的个数。

当然，什么叫远远少于，这个并没有一个固定的界限。

压缩存储策略

• 方法一：

顺序存储——三元组（行，列，值）

注，此处三元组中存放的行号、列号，就是从1开始的了，因为它并不是个数组。

显然，用这种方法存储稀疏矩阵的数据的话，若要访问某一行某一列的数据，就要从头顺序的依次扫描三元组，对其行号、列号遍历，直到查找到目标。就不具备随机存取的特性了。

• 方法二：

链式存储——十字链表法

在“上侧”定义一个数组，用来存放每一列的指针，叫做向下域（down），指向第j列的第一个元素；

在“左侧”定义一个数组，用来存放每一行的指针，叫做向右域（right），指向第i行的第一个元素。

每个非零元素成为一个数据结点，被存放着。

（也就是向下域、向右域都指向当前列/行的第一个非零数据所形成的数据结点）

其中，每个非零数据结点，除存放三元组（行，列，值）外，还存放两个指针，分别指向同列的下一个元素、同行的下一个元素。