【考研数学】高等数学第五模块 —— 级数（3，傅里叶级数）

系列文章

【考研数学】高等数学第五模块 —— 级数（1，常数项级数）

【考研数学】高等数学第五模块 —— 级数（2，幂级数）

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引言

承接前文，我们来学习级数的最后一个内容 —— 傅里叶级数。

放上傅爷（Fourier）照片镇楼。

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三、傅里叶级数

3.1 周期为 $2\pi$ 的函数的傅里叶级数

设 $f(x)$ 是以 $2\pi$ 为周期的函数，有以下问题。

$f(x)$ 能否分解为如下形式：$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx),$$ 如果能分解，其中的系数又该如何求解？$f(x)$ 与该形式（一个三角级数）有什么联系？

定理 1 —— （狄利克雷充分条件）设 $f(x)$ 是以 $2\pi$ 为周期的函数，若 $f(x)$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上满足：

（1）$f(x)$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上连续或只有有限个第一类间断点；

（2）$f(x)$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上只有有限个极值点，

则 $f(x)$ 可以展开成 $$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx).$$ 其中，$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx,a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,\dots ),$ 且

（1）当 $x$ 为 $f(x)$ 的连续点时，$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)=f(x);$$
（2）当 $x$ 为 $f(x)$ 的间断点时，$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)=\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}.$$

3.2 定义在 $[-\pi ,\pi ]$ 上的函数 $f(x)$ 的傅里叶级数

若 $f(x)$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 满足狄利克雷充分条件，将 $f(x)$ 进行周期延拓，则 $f(x)$ 可以展开为 $$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx),$$ 其中，$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx,a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,\dots ),$ 且

（1）当 $x$ 为 $f(x)$ 的连续点时，$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)=f(x);$$
（2）当 $x$ 为 $f(x)$ 的间断点时，$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)=\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}.$$

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什么是周期延拓？是把一个周期上的函数拓展到整个区间。比如此时函数定义在 $[-\pi ,\pi ]$ ，延拓后，函数在 $[-\pi ,\pi ]$ 以外的图像都是 $[-\pi ,\pi ]$上的图像平移过去的。

比如，函数 $f=|x|(-\pi \le x\le \pi )$ ，其图像为：

周期延拓后，图像变为：

为什么要延拓？是为了利用前面的结论：周期为 $2\pi$ 的函数可以展开成一个傅里叶级数。

3.3 定义在 $[0,\pi ]$ 上的函数 $f(x)$ 的傅里叶级数

此时需要先延拓为 $[-\pi ,\pi ]$ 上，再周期延拓为整个区间。延拓后关于原点对称称为奇延拓，延拓后关于 $y$ 轴对称则称为偶延拓。

对于偶延拓后再周期延拓的函数 $f(x)$ ，在 $[0,\pi ]$ 上可以展开成余弦级数，即 $$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos nx,$$ 其中，$a_0=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)dx,a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=1,2,\dots )$.

对于奇延拓再周期延拓后的函数 $f(x)$ ，在 $[0,\pi ]$ 上可以展开成正弦级数，即 $$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx,$$ 其中，$a_0=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)dx,b_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,\dots )$.

3.4 周期为 $2l$ 的函数 $f(x)$ 的傅里叶级数

此时为更一般性的周期函数，和前面 3.1 节同理，有以下类似问题：

$f(x)$ 能否分解为如下形式：$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos \frac{\pi }{l}nx+b_n\sin \frac{\pi }{l}nx),$$ 如果能分解，其中的系数又该如何求解？$f(x)$ 与该形式（一个三角级数）有什么联系？

其实就是多了一个 $\frac{\pi }{l}$ ，同样，也有狄利克雷充分条件。

定理 —— （狄利克雷充分条件）设 $f(x)$ 是以 $2l$ 为周期的函数，若 $f(x)$ 在 $[-l,l]$ 上满足：

（1）$f(x)$ 在 $[-l,l]$ 上连续或只有有限个第一类间断点；

（2）$f(x)$ 在 $[-l,l]$ 上只有有限个极值点，

则 $f(x)$ 可以展开成 $$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos \frac{\pi }{l}nx+b_n\sin \frac{\pi }{l}nx).$$ 其中，$a_0=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)dx,a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{\pi }{l}nxdx(n=1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{\pi }{l}nxdx(n=1,2,\dots ),$ 且

（1）当 $x$ 为 $f(x)$ 的连续点时，$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos \frac{\pi }{l}nx+b_n\sin \frac{\pi }{l}nx)=f(x);$$
（2）当 $x$ 为 $f(x)$ 的间断点时，$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos \frac{\pi }{l}nx+b_n\sin \frac{\pi }{l}nx)=\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}.$$
那么，同样也可以继续拓展，当定义在 $[-l,l]$ 上、$[0,l]$ 上，都可以进行一定程度的延拓，展开为傅里叶级数。

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写在最后

如果光从应试，那内容就到这里。从一个周期为 $2\pi$ 的函数展开为傅里叶级数出发，慢慢拓展到一个更一般的周期函数展开。