高数保研复习

可导一定连续,但是连续不一定可导。

一元函数可导和可微等价。

f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x} f(x0)=Δx0limΔxΔy=Δx0limΔxf(x0+Δx)f(x0)

函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) x 0 x_0 x0 处左右导数存在且相等是函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 可导的充分必要条件。


多元函数偏导数在该点连续才可微,若可微分则必然偏导数存在。

必要条件:偏导数存在

如果函数 z = f ( x , y ) z =f(x,y) z=f(x,y) 在点 ( x , y ) (x,y) (x,y) 可微分,那么该函数在点 ( x , y ) (x,y) (x,y) 的偏导数 ∂ z ∂ x \frac{\partial z}{\partial x} xz ∂ z ∂ y \frac{\partial z}{\partial y} yz 必定存在, 且函数 z = f ( x , y ) z =f(x,y) z=f(x,y) 在点 ( x , y ) (x,y) (x,y) 的全微分为

d z = ∂ z ∂ x Δ x + ∂ z ∂ y Δ y . \mathrm{d} z=\frac{\partial z}{\partial x} \Delta x+\frac{\partial z}{\partial y} \Delta y . dz=xzΔx+yzΔy.

充分条件:偏导数在该点处连续

如果函数 z = f ( x , y ) z =f(x,y) z=f(x,y) 在的偏导数 ∂ z ∂ x \frac{\partial z}{\partial x} xz ∂ z ∂ y \frac{\partial z}{\partial y} yz 在点 ( x , y ) (x,y) (x,y) 连续,那么该函数在点 ( x , y ) (x,y) (x,y) 可微分。


雅可比式:由偏导数组成的函数行列式,主要用途在于多重积分时候的换元处理,计算隐函数的导数。

J = ∂ ( F , G ) ∂ ( u , v ) = ∣ ∂ F ∂ u ∂ F ∂ v ∂ G ∂ u ∂ G ∂ v ∣ J=\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{ll} \frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v} \end{array}\right| J=(u,v)(F,G)= uFuGvFvG


曲线积分与曲面积分

Σ \Sigma Σ 是有向曲面,在 Σ \Sigma Σ 上取一小块曲面 Δ S \Delta S ΔS,把 Δ S \Delta S ΔS 投影到 x O y xOy xOy 面上得到一投影区域,这投影区域的面积记为 ( Δ σ ) x y (\Delta \sigma)_{x y} (Δσ)xy,假定 Σ \Sigma Σ 上各点法向量与 z z z 轴的夹角 γ \gamma γ 的余弦 cos ⁡ γ \cos \gamma cosγ 有着相同的符号,则

( Δ S ) x y = { ( Δ σ ) x y , cos ⁡ γ > 0 − ( Δ σ ) x y , cos ⁡ γ < 0 0 , cos ⁡ γ ≡ 0 (\Delta S)_{x y}=\left\{\begin{array}{cc} (\Delta \sigma)_{x y}, & \cos \gamma>0 \\ -(\Delta \sigma)_{x y}, & \cos \gamma<0 \\ 0, & \cos \gamma \equiv 0 \end{array}\right. (ΔS)xy= (Δσ)xy,(Δσ)xy,0,cosγ>0cosγ<0cosγ0

函数 R ( x , y , z ) R(x,y,z) R(x,y,z) 在向有向曲面 Σ \Sigma Σ 上对坐标 x x x y y y 的曲面积分,记作 ∬ Σ R ( x , y , z ) d x d y \iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d}y ΣR(x,y,z)dxdy,即

∬ Σ R ( x , y , z ) d x d y = lim ⁡ λ → 0 ∑ i = 1 n R ( ξ i , η i , ζ i ) ( Δ S i ) x y \iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} R\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right)\left(\Delta S_{i}\right)_{x y} ΣR(x,y,z)dxdy=λ0limi=1nR(ξi,ηi,ζi)(ΔSi)xy

格林公式:平面闭区域 D D D 上的二重积分可以通过沿 D D D 的边界 L L L 上的曲线积分来表示。本质上是旋度定理在二维平面上的结果。

高斯公式 :空间闭区域上的三重积分可用 Ω Ω Ω 边界上的曲面积分表示,本质上就是散度定理。

散度的定义为: ∇ ⋅ f ⃗ = ∇ T f ⃗ = [ ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ] [ f x f y f z ] = ∂ f x ∂ x + ∂ f y ∂ y + ∂ f z ∂ z \begin{aligned} \nabla \cdot \vec{f}=\nabla^{T} \vec{f} & =\left[\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right]\left[\begin{array}{l} f_{x} \\ f_{y} \\ f_{z} \end{array}\right] \\ & =\frac{\partial f_{x}}{\partial x}+\frac{\partial f_{y}}{\partial y}+\frac{\partial f_{z}}{\partial z} \end{aligned} f =Tf =[x,y,z] fxfyfz =xfx+yfy+zfz

∫ ∂ V f ⃗ ⋅ d S ⃗ = ∫ V ∇ ⋅ f ⃗ d V \int_{\partial V} \vec{f} \cdot d \vec{S}=\int_{V} \nabla \cdot \vec{f} d V Vf dS =Vf dV

斯托克斯公式:平面闭区域上的曲面积分可用边界曲线上的曲线积分来表示。

∇ × F ( x , y , z ) = ∣ i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z ∣ = ( ∂ F z ∂ y − ∂ F y ∂ z ) i ^ + ( ∂ F x ∂ z − ∂ F z ∂ x ) j ^ + ( ∂ F y ∂ x − ∂ F x ∂ y ) k ^ \begin{array}{l} \nabla \times \mathbf{F}(x, y, z)=\left|\begin{array}{ccc} \hat{\boldsymbol{i}} & \hat{\boldsymbol{j}} & \hat{\boldsymbol{k}} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_{x} & F_{y} & F_{z} \end{array}\right| \\ =\left(\frac{\partial F_{z}}{\partial y}-\frac{\partial F_{y}}{\partial z}\right) \hat{\boldsymbol{i}}+\left(\frac{\partial F_{x}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial x}\right) \hat{\boldsymbol{j}}+\left(\frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y}\right) \hat{\boldsymbol{k}} \end{array} ×F(x,y,z)= i^xFxj^yFyk^zFz =(yFzzFy)i^+(zFxxFz)j^+(xFyyFx)k^

∬ Σ ∇ × F ⋅ d Σ = ∮ ∂ Σ F ⋅ d r , \iint_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d \boldsymbol{\Sigma}=\oint_{\partial \Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, Σ×FdΣ=ΣFdr,

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无穷级数


比较审敛法:设 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty} u_n n=1un ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty} v_n n=1vn 为正项级数,如果

lim ⁡ n → ∞ u n v n = l ( 0 ⩽ l < + ∞ ) , \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}}=l(0 \leqslant l<+\infty), nlimvnun=l(0l<+)

∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty} v_n n=1vn 收敛则 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty} u_n n=1un 收敛;若 ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infty} v_n n=1vn 发散,则 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty} u_n n=1un 发散。


比值审敛法:设 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty} u_n n=1un 为正项级数,如果

lim ⁡ n → ∞ u n + 1 u n = ρ , \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\rho, nlimunun+1=ρ,

那么当 ρ < 1 \rho<1 ρ<1 时级数收敛, ρ > 1 \rho>1 ρ>1 时级数发散, ρ = 1 \rho=1 ρ=1 时可能收敛也可能发散。


根值审敛法:设 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infty} u_n n=1un 正项级数,如果 lim ⁡ n → ∞ u n n = ρ , \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_{n}}=\rho, limnnun =ρ,

那么当 ρ < 1 \rho<1 ρ<1 时级数收敛, ρ > 1 \rho>1 ρ>1 时级数发散, ρ = 1 \rho=1 ρ=1 时可能收敛也可能发散。

一、函数与极限

1.2 数列的极限


收敛数列的有界性:如果数列 { x n } \{x_n\} {xn} 收敛,那么 { x n } \{x_n\} {xn} 一定有界

但是注意如果数列 { x n } \{x_n\} {xn} 有界,那么无法 { x n } \{x_n\} {xn} 一定收敛,比如数列 ( − 1 ) n (-1)^n (1)n

但是正项数列因为单调有界数列必有极限的原则,正项数数列和收敛和有界是完全等价的。




1.3 函数的极限


自变量趋向于有限值时函数的极限

设函数在点 x 0 x_0 x0 的某一去心邻域内有定义,如果存在常数 A A A,对于任意的正数 ε > 0 \varepsilon >0 ε>0,总存在正数 δ > 0 \delta>0 δ>0,使得当 x x x 满足不等式 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0<|x-x_0|<\delta 0<xx0<δ 时,
∣ f ( x ) − A ∣ < ε |f(x)-A|<\varepsilon f(x)A<ε则为该函数 f ( x ) → x 0 f(x)\rightarrow x_0 f(x)x0 的极限。


自变量趋于无穷大时函数的极限

设函数 f ( x ) f(x) f(x) ∣ x ∣ |x| x 大于某一正数时有定义如果存在常数 A A A , 对于任意的正数 ε > 0 \varepsilon >0 ε>0,不论它多么小,总存在着正数 X X X, 使得当 x x x 满足不等式 ∣ x ∣ > X |x|>X x>X 时,对应的函数值 f ( x ) f(x) f(x) 都满足不等式 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε |f(x)-A|<\varepsilon f(x)A<ε
那么常数 A A A 就叫做函数 f ( x ) f(x) f(x) x → ∞ x \rightarrow \infty x 时的极限


函数的连续性

定义设函数 y = f ( x ) y =f(x) y=f(x) x 0 x_0 x0 的某一邻域内有定义, 如果

lim ⁡ Δ x → 0 Δ y = lim ⁡ Δ x → 0 [ f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) ] = 0 , \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left[f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)\right]=0, Δx0limΔy=Δx0lim[f(x0+Δx)f(x0)]=0,

那么就称函数 y = f ( x ) y =f(x) y=f(x) 在点 x 0 x_0 x0 连续。定理的另一种表达方式为 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) , \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right), xx0limf(x)=f(x0),

我们可以观察到,和极限存在的区别是,连续要求的是点 x 0 x_0 x0 的领域,而极限存在则要求的是去心邻域。


一致连续

设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 I I I 上有定义。如果对于任意给定的正数 ε \varepsilon ε,总存在正数 δ > 0 \delta>0 δ>0,使得对于区间 I I I 上任意两点 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2,当 ∣ x 1 − x 2 ∣ < δ \left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta x1x2<δ,有 ∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ < ε ,  \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|<\varepsilon \text {, } f(x1)f(x2)<ε

那么称函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 I I I 上一致连续.

一致连续性表示,不论在区间 I I I 的任何部分,只要自变量的两个数值接近到一定程度,就可使对应的函数值达到所指定的接近程度.反例非常简单,在 ( 0 , 1 ] (0,1] (0,1] 上, f ( x ) = 1 x f(x)=\frac{1}{x} f(x)=x1 不是一致连续的

连续是一个静点一个动点,因此只关乎静止的那个点处的连续性;一致连续是两个动点,因此关乎整个区间上的连续性。


1.6 两个重要极限


lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x x = 1 \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1 x0limxsinx=1

lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e \lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e xlim(1+x1)x=e

1.10 闭区间上连续函数的性质


函数的间断点

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一句话概括,那就是第一类间断点的左右极限都存在,问题在于左右极限相不相等。


拐点:经过某个点使函数凹凸性发生变化

{ ( a , b )  内,  f ′ ′ ( x ) > 0 ,  凹: 斜率递增  ( a , b )  内,  f ′ ′ ( x ) < 0 ,  凸: 斜率递减  \left\{\begin{array}{l} (a, b) \text { 内, } \mathrm{f}^{\prime \prime}(x)>0, \text { 凹: 斜率递增 } \\ (a, b) \text { 内, } \mathrm{f}^{\prime \prime}(x)<0, \text { 凸: 斜率递减 } \end{array}\right. {(a,b) f′′(x)>0, 斜率递增 (a,b) f′′(x)<0, 斜率递减 

五、定积分


定积分存在的充分条件

书上是这样说的:我们不在此作深入的探讨,而只给出以下两个充分条件。实际上我们常用的定积分存在的充分条件有三个:

  1. f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续,则 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可积分
  2. f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上有界,且只有有限个间断点,则 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可积分
  3. f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上单调,则 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可积分

定积分存在的必要条件

定积分存在,则函数必定有界。


多元函数


多元函数的极值


必要条件

设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) 在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0) 具有偏导数,且在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0) 处有极值, 则有

f x ( x 0 , y 0 ) = 0 , f y ( x 0 , y 0 ) = 0. f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, f_y\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 . fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0.

充分条件

设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) 在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0) 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又 f x ( x 0 , y 0 ) = 0 , f y ( x 0 , y 0 ) = 0 f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, f_y\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0,令

f x x ( x 0 , y 0 ) = A , f x y ( x 0 , y 0 ) = B , f y y ( x 0 , y 0 ) = C , f_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=A, f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=B, f_{y y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=C, fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C,

f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0) 处是否取得极值的条件如下:

  1. A C − B 2 > 0 AC-B^2>0 ACB2>0 时具有极值, 且当 A < 0 A <0 A<0 时有极大值,当 A > 0 A >0 A>0 时有极小值;
  2. A C − B 2 < 0 AC-B^2<0 ACB2<0 时没有极值;
  3. A C − B 2 = 0 AC-B^2=0 ACB2=0 时可能有极值, 也可能没有极值, 还需另作讨论.

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