专题：正交矩阵

例题

例3.3（1）上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角元为或.
（2）如果正交矩阵是分块上三角矩阵，则是分块对角矩阵，且的主对角线上的所有子矩阵都是正交矩阵。
例3.10设为阶正交矩阵，则
（1）的复特征值的模为，从而的实特征值只能为或，虚特征值成对互为共轭.
（2）若是的特征值，是的属于特征值入的特征向量，则长度相等且正交.
例3.11设为欧氏空间的正交变换，在的标准正交基下的矩阵为，则为正交阵，若复数为的特征值，为对应的特征向量.则（1）其中

（2）若，则.从而.
（3）可以分解为维或维彼此正交的的不变子空间的直和.
例3.12（大连理工04）设为维欧氏空间，为的一个正交变换.若无实特征值，则可以分解为的两个正交的不变子空间的直和.
例3.13（大连理工03）设是一个维欧氏空间，是正交变换，在的标准正交基下的矩阵为，证明：
（1）若为的一个虚特征根，则存在使得
（2）若的特征值皆为实数，则可分解为一些两两正交的一维不变子空间的直和.
（3）（华东师大03）若的特征值皆为实数，则为对称阵。
例3.17（北京邮电07）.则为正交阵的充要条件为
即

例3.21设为n阶实矩阵，定义。证明：为正交矩阵的充要条件为对任意的阶实矩阵都有.
例3.22设A是n阶正交矩阵，则存在正交矩阵T使得

image.png

例3.26设

是正交矩阵且

.则存在正交矩阵

使得

.
例3.27设

是正交矩阵，且

，则对于任意的偶数

，存在正交矩阵

使得

.
例3.29设

是欧氏空间

（标准内积）的两个长度相等的向量，

，则存在镜像矩阵

使得

.
例3.30（南开大学2009）设

，且在

上的标准度量下

为单位向量.证明：必存在一个

阶实对称正交矩阵

使得

为

的第一列.
例3.32设

是

阶正交阵.证明：

.

参考文献

http://www.52gd.org/?p=248