求函数f(x,y)在曲线C上的最大方向导数问题

方向导数：

在许多问题中，不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率（即偏导数），而且要设法求得函数在某点沿着其他特定方向上的变化率，这就是方向导数

方向导数的定义式和计算公式

1. 定义式：
   前提：三元函数 $u=u(x,y,z)$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 的某空间邻域 $U\subset R^3$ 内有定义
   
   设 $l$ 为从点 $P_0$ 出发的射线，$P(x,y,z)$为 $l$ 上且在 $U$ 内的任一点，$t=\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2+(\Delta z{)}^2}$，表示 $P$ 与 $P_0$ 之间的距离。则：
   $$\{\begin{array}{l}x-x_0=\Delta x=t\cos \alpha \\ y-y_0=\Delta y=t\cos \beta \\ z-z_0=\Delta z=t\cos \gamma \end{array}$$
   则函数 $u=u(x,y,z)$ 在点 $P_0$ 沿方向 $l$ 的方向导数的定义式为：
   $$\begin{gathered} \frac{\partial u}{\partial l}{|}_{P0}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{u(P)-u(P_0)}{t} \\ =\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{u(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta ,z_0+t\cos \gamma )-u(x_0,y_0,z_0)}{t} \end{gathered}$$
2. 计算式：
   前提：三元函数 $u=u(x,y,z)$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处可微分，即 $u=u(x,y,z)$ 在点 $P_0$ 处沿任一方向 $l$ 的方向导数都存在
   
   则函数 $u=u(x,y,z)$ 在点 $P_0$ 沿方向 $l$ 的方向导数的计算式为：
   $$\frac{\partial u}{\partial l}{|}_{P0}=u_x^{{}^{\prime }}(P_0)\cos \alpha +u_y^{{}^{\prime }}(P_0)\cos \beta +u_z^{{}^{\prime }}(P_0)\cos \gamma$$
   其中，$\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ 为方向 $l$ 的方向余弦

方向导数与梯度的关系

函数在某点的梯度是一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值，
方向导数的计算公式：$\frac{\partial u}{\partial l}{|}_{P0}=u_x^{{}^{\prime }}(P_0)\cos \alpha +u_y^{{}^{\prime }}(P_0)\cos \beta +u_z^{{}^{\prime }}(P_0)\cos \gamma$
梯度的定义：$\text{grad}u{|}_{P_0}=(u_x^{{}^{\prime }}(P_0),u_y^{{}^{\prime }}(P_0),u_z^{{}^{\prime }}(P_0))$
可知：在 $P_0$点，函数沿$l$的方向导数=（函数在 $P_0$点的梯度）点乘（$l$ 的方向余弦）

一种题目的问法：求函数f在曲线C上的最大方向导数

原题：已知函数 $f(x,y)=x+y+xy$，曲线 $C:x^2+y^2+xy=3$，求 $f(x,y)$ 在曲线 $C$上的最大方向导数。

解题思路：可转化为求解梯度的模的条件极值问题

原来的错误想法：函数f在某点增长最快的方向是梯度方向，但这题问的是求f在曲线C上的最大方向导数，也就是要沿着曲线C切向量的方向的最大方向导数。那么就有一个问题，如何才能保证C上有这么一个点，其切向量的方向就是f的梯度方向呢

解答：想复杂了。函数f在曲线C上每一点都有无数个方向导数，其中方向向量模最大的那个就死活梯度，也就是函数f在曲线C上每一点都有一个梯度，求的是这些梯度中最大的那个。并不是一定要沿着C的方向（那要是这么说，沿着C还有两个方向呢）。所以这里的曲线C，只是用来限定函数f的自变量$(x,y)$的取值范围的，直接将f的梯度表达式列出来，然后取条件为C的极值即可。

原题是15年题目