求函数f(x,y)在曲线C上的最大方向导数问题

方向导数:

在许多问题中,不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率(即偏导数),而且要设法求得函数在某点沿着其他特定方向上的变化率,这就是方向导数

方向导数的定义式和计算公式

  1. 定义式:
    前提:三元函数 u = u ( x , y , z ) u=u(x,y,z) u=u(x,y,z) 在点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0) 的某空间邻域 U ⊂ R 3 U\subset R^3 UR3 内有定义

    l l l 为从点 P 0 P_0 P0 出发的射线, P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z) l l l 上且在 U U U 内的任一点, t = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 + ( Δ z ) 2 t=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2} t=(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2 ,表示 P P P P 0 P_0 P0 之间的距离。则:
    { x − x 0 = Δ x = t cos ⁡ α y − y 0 = Δ y = t cos ⁡ β z − z 0 = Δ z = t cos ⁡ γ \begin{cases}x-x_0=\Delta x=t\cos \alpha \\ y-y_0=\Delta y = t\cos \beta\\ z-z_{0}=\Delta z =t\cos\gamma \end{cases} xx0=Δx=tcosαyy0=Δy=tcosβzz0=Δz=tcosγ
    则函数 u = u ( x , y , z ) u=u(x,y,z) u=u(x,y,z) 在点 P 0 P_0 P0 沿方向 l l l 的方向导数的定义式为:
    ∂ u ∂ l ∣ P 0 = lim ⁡ t → 0 + u ( P ) − u ( P 0 ) t = lim ⁡ t → 0 + u ( x 0 + t cos ⁡ α , y 0 + t cos ⁡ β , z 0 + t cos ⁡ γ ) − u ( x 0 , y 0 , z 0 ) t \dfrac{\partial u}{\partial l}|_{P0} =\lim_{t\rightarrow 0^+} \dfrac{u(P)-u(P_0)}{t}\\ =\lim_{t\rightarrow 0^+} \dfrac{u(x_0+t\cos \alpha,y_0+t\cos \beta,z_0+t\cos \gamma)-u(x_0,y_0,z_0)}{t} luP0=t0+limtu(P)u(P0)=t0+limtu(x0+tcosα,y0+tcosβ,z0+tcosγ)u(x0,y0,z0)
  2. 计算式:
    前提:三元函数 u = u ( x , y , z ) u=u(x,y,z) u=u(x,y,z) 在点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0) 处可微分,即 u = u ( x , y , z ) u=u(x,y,z) u=u(x,y,z) 在点 P 0 P_0 P0 处沿任一方向 l l l 的方向导数都存在

    则函数 u = u ( x , y , z ) u=u(x,y,z) u=u(x,y,z) 在点 P 0 P_0 P0 沿方向 l l l 的方向导数的计算式为:
    ∂ u ∂ l ∣ P 0 = u x ′ ( P 0 ) cos ⁡ α + u y ′ ( P 0 ) cos ⁡ β + u z ′ ( P 0 ) cos ⁡ γ \dfrac{\partial u}{\partial l}|_{P0} =u_x^{'}(P_0)\cos \alpha+u_y^{'}(P_0)\cos\beta+u_z^{'}(P_0)\cos\gamma luP0=ux(P0)cosα+uy(P0)cosβ+uz(P0)cosγ
    其中, cos ⁡ α , cos ⁡ β , cos ⁡ γ \cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma cosα,cosβ,cosγ 为方向 l l l 的方向余弦

方向导数与梯度的关系

函数在某点的梯度是一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值,
方向导数的计算公式: ∂ u ∂ l ∣ P 0 = u x ′ ( P 0 ) cos ⁡ α + u y ′ ( P 0 ) cos ⁡ β + u z ′ ( P 0 ) cos ⁡ γ \dfrac{\partial u}{\partial l}|_{P0} =u_x^{'}(P_0)\cos \alpha+u_y^{'}(P_0)\cos\beta+u_z^{'}(P_0)\cos\gamma luP0=ux(P0)cosα+uy(P0)cosβ+uz(P0)cosγ
梯度的定义: grad   u ∣ P 0 = ( u x ′ ( P 0 ) , u y ′ ( P 0 ) , u z ′ ( P 0 ) ) \textbf{grad}\ u|_{P_0}=(u_x^{'}(P_0),u_y^{'}(P_0),u_z^{'}(P_0)) grad uP0=(ux(P0),uy(P0),uz(P0))
可知:在 P 0 P_0 P0点,函数沿 l l l的方向导数=(函数在 P 0 P_0 P0点的梯度)点乘( l l l 的方向余弦)

一种题目的问法:求函数f在曲线C上的最大方向导数

原题:已知函数 f ( x , y ) = x + y + x y f(x,y)=x+y+xy f(x,y)=x+y+xy,曲线 C : x 2 + y 2 + x y = 3 C:x^2+y^2+xy=3 C:x2+y2+xy=3,求 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 在曲线 C C C上的最大方向导数。

解题思路:可转化为求解梯度的模的条件极值问题

原来的错误想法:函数f在某点增长最快的方向是梯度方向,但这题问的是求f在曲线C上的最大方向导数,也就是要沿着曲线C切向量的方向的最大方向导数。那么就有一个问题,如何才能保证C上有这么一个点,其切向量的方向就是f的梯度方向呢

解答:想复杂了。函数f在曲线C上每一点都有无数个方向导数,其中方向向量模最大的那个就死活梯度,也就是函数f在曲线C上每一点都有一个梯度,求的是这些梯度中最大的那个。并不是一定要沿着C的方向(那要是这么说,沿着C还有两个方向呢)。所以这里的曲线C,只是用来限定函数f的自变量 ( x , y ) (x,y) (x,y)的取值范围的,直接将f的梯度表达式列出来,然后取条件为C的极值即可。

原题是15年题目

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