数学分析理论基础18：高阶导数

高阶导数

二阶导数

定义：若函数f的导函数f'在点可导,则称f'在点的导数为f在点的二阶导数,记作,同时称f在点二阶可导

若f在区间I上每一点都二阶可导,则得到一个定义在I上的二阶导函数,记作,简记作f''

高阶导数

1.一般地,可由f的n-1阶导函数定义f的n阶导函数(n阶导数)

2.二阶以及二阶以上的导数都称为高阶导数

3.函数f在点处的n阶导数记作,或,相应地n阶导函数记作,或,其中可写作,表示对y相继进行n次求导运算的结果

例：求幂函数的各阶导数

解：

例：求y=sinx和y=cosx的各阶导数

解：

运算法则

一阶导数的运算法则可直接移植到高阶导数

乘法求导法则(莱布尼兹公式)

设y=uv,则

例：设,求

解：

例：设,求

例：求的高阶导数

解：

参量方程二阶导

设在上二阶可导,则由参量方程所确定的函数一阶导数

其参量方程为

例：求由摆线参量方程所确定的函数的二阶导数

解：