【数据结构】堆排序与TopK问题
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目录
前言
1.堆的概念和结构
2.堆的实现
2.1向上调整算法
2.2向下调整算法
2.3堆的创建
2.4建堆时间复杂度
2.5堆的插入
2.6堆的删除
2.7堆的代码实现
3.堆的应用
3.1堆排序
3.2TopK问题
前言
本篇文章博主主要围绕堆这一数据结构展开，内容包括两种建堆方式，两种建堆方式的时间复杂度分析，最后引入堆的应用：堆排序和TopK问题，希望大家多多点赞收藏支持
欢迎大家收藏以便未来做题时可以快速找到思路，巧妙的方法可以事半功倍。
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1.堆的概念和结构
堆的逻辑结构是完全二叉树。
逻辑结构的视角观察：
在大根堆中，双亲节点大于孩子节点；
在小根堆中，双亲节点小于孩子节点。
堆的存储结构是一维数组。
存储结构的视角观察（设数组K）：
在小根堆中：K[i]<=K[2*i+1] && K[i]<=K[2*i+2]；
在大根堆中：K[i]>=K[2*i+1] && K[i]>=K[2*i+2]；
2.堆的实现
2.1向上调整算法
向上调整算法的前提是祖先是堆。
以小堆为例：
1.给定向上调整的起点（孩子节点下标），根据起点下标计算双亲节点下标。
孩子节点与双亲结点间的下标关系：
child=parent*2+1 || child=parent*2+2;
parent=(child-1)/2;
2.比较孩子节点与双亲节点数值大小，若孩子节点小于双亲节点，则交换两者，并将孩子节点的下标更新为之前的双亲节点下标，根据最新的孩子节点下标重新计算双亲节点下标，重复这一过程直到孩子节点为根节点。
代码实现：
//向上调整
void Adjustup(HPDataType* a,int child)
{
int parent = (child - 1) / 2;
while (child > 0)
{
if (a[child] < a[parent])//建小堆
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
child = parent;
parent = (parent - 1) / 2;
}
else
{
break;
}
}
}2.2向下调整算法
向下调整算法的前提是左右子树是堆。
以小堆为例：
1.给定向下调整的起点（双亲节点下标）和节点总数，根据起点下标计算孩子节点下标。
注意：向下调整时，若有两个孩子节点，则需要确保调整的是较大的孩子节点。
2.比较孩子节点与双亲节点数值大小，若孩子节点小于双亲节点，则交换两者，并将双亲节点的下标更新为之前的孩子节点下标，根据最新的双亲节点下标重新计算孩子节点下标，重复这一过程直到孩子节点超出节点总数。
代码实现：
//向下调整
void Adjustdown(HPDataType* a, int n,int parent)
{
int child = parent * 2 + 1;
while (child < n)
{
if (child+12.3堆的创建
堆的创建既可以使用向上调整算法，也可以使用向下调整算法。
1.向上调整算法建堆
由于向上调整算法的前提是祖先是堆，所以我们需要从第二个节点开始向上调整（即根节点的下一个）。
代码实现：
for(int i = 1; i < n; i++)
{
Adjustup(a,i);
}2.向下调整算法建堆
由于向下调整算法的前提是左右子树是堆，所以我们需要从倒数第一个非叶子节点向下调整。
已知节点总数为n，那么倒数第一个节点的下标即为n-1，该节点的双亲节点下标即为(n-1-1)/2，该双亲节点就是倒数第一个非叶子节点（因为堆是完全二叉树）。
代码实现：
for (int i = (n - 2) / 2; i >= 0; i--)
{
Adjustdown(a,n,i);
}2.4建堆时间复杂度
假设树的高度为h。
1.向上调整建堆时间复杂度
则需要移动节点总的移动步数为：
即向上调整建堆的时间复杂度为O(N*log₂N)。
2.向下调整建堆时间复杂度
则需要移动节点总的移动步数为：
即向下调整建堆的时间复杂度为O(N)。
2.5堆的插入
首先尾插到该数组，再向上调整即可。
2.6堆的删除
删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据交换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。
2.7堆的代码实现
// 堆的构建
void HeapCreate(Heap* hp, HPDataType* a, int n)
{
assert(hp);
assert(a);
hp->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType)*n);
if (hp->a == NULL)
{
perror("malloc fail");
exit(-1);
}
hp->capacity = hp->size = n;
memcpy(hp->a, a, sizeof(HPDataType) * n);
for (int i = 1; i < n; i++)
{
Adjustup(hp->a, i);
}
}
// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp)
{
assert(hp);
free(hp->a);
hp->a = NULL;
hp->capacity = hp->size = 0;
}
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x)
{
assert(hp);
assert(hp->a);
//1.检查容量
if (hp->size == hp->capacity)
{
int newCapacity = hp->capacity == 0 ? 4 : hp->capacity * 2;
HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(hp->a,sizeof(HPDataType) *newCapacity);
if (tmp == NULL)
{
perror("realloc fail");
exit(-1);
}
hp->a = tmp;
hp->capacity = newCapacity;
}
hp->a[hp->size] = x;
hp->size++;
Adjustup(hp->a, hp->size-1);
}
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp)
{
assert(hp);
assert(hp->size > 0);
Swap(&hp->a[0], &hp->a[hp->size - 1]);
--hp->size;
Adjustdown(hp->a, hp->size, 0);
}
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp)
{
assert(hp);
assert(hp->a);
return hp->a[0];
}
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp)
{
assert(hp);
return hp->size;
}
// 堆的判空
bool HeapEmpty(Heap* hp)
{
assert(hp);
return hp->size == 0;
}3.堆的应用
3.1堆排序
方法1：
首先，我们当然可以利用已经堆这一数据结构进行输出有序的数据。
以升序为例：
首先构建小堆，然后输出堆顶元素，再Pop，再向下调整，循环执行此步骤直到堆空。
代码实现：
void HeapSort(int* a, int n)
{
HP hp;
HeapInit(&hp);
for (int i = 0; i < n; i++)
{
HeapPush(&hp, a[i]);
}
int i = 0;
while (!HeapEmpty(&hp))
{
//printf("%d ", HeapTop(&hp));
a[i++] = HeapTop(&hp);
HeapPop(&hp);
}
HeapDestroy(&hp);
}但这样有很明显的缺点：
1.需要堆这样一个数据结构，构建麻烦；
2.空间复杂度的消耗。
方法2：
以升序为例：
首先构建大堆（推荐使用向下调整），此时堆顶元素一定为最大值，然后将堆顶元素与最后一个节点交换，此时最大值就放到了整个数组的最后面，然后除了最后一个值以外，其他的数据再向下调整，调整完成后堆顶元素为次大值，再与数组倒数第二个位置的值交换，这样依此往复就得到了升序数组。
注意：
升序建大堆，降序建小堆。
代码实现：
void HeapSort(int* a, int n)
{
// 向上调整建堆 （大堆）or （小堆）
// O(N*logN)
/*for (int i = 1; i < n; i++)
{
AdjustUp(a, i);
}*/
// 向下调整建堆
// O(N)
for (int i = (n-1-1)/2; i >= 0; i--)
{
AdjustDown(a, n, i);
}
// O(N*logN)
int end = n - 1;
while (end > 0)
{
Swap(&a[0], &a[end]);
AdjustDown(a, end, 0);
--end;
}
}3.2TopK问题
TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。
最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：
1.用数据集合中前K个元素来建堆
- 前k个最大的元素，则建小堆
- 前k个最小的元素，则建大堆
2.用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素
首先可以写一段生成随机数字的程序，并将这些数字写入到文件中。
void CreateNDate()
{
// 造数据
int n = 10000000;
srand(time(0));
const char* file = "data.txt";
FILE* fin = fopen(file, "w");
if (fin == NULL)
{
perror("fopen error");
return;
}
for (int i = 0; i < n; ++i)
{
int x = (rand() + i) % 10000000;
fprintf(fin, "%d\n", x);
}
fclose(fin);
}
根据上面分析的思路完成代码。
void PrintTopK(const char* filename, int k)
{
// 1. 建堆--用a中前k个元素建堆
FILE* fout = fopen(filename, "r");
if (fout == NULL)
{
perror("fopen fail");
return;
}
int* minheap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
if (minheap == NULL)
{
perror("malloc fail");
return;
}
for (int i = 0; i < k; i++)
{
fscanf(fout, "%d", &minheap[i]);
}
// 前k个数建小堆
for (int i = (k-2)/2; i >=0 ; --i)
{
AdjustDown(minheap, k, i);
}
// 2. 将剩余n-k个元素依次与堆顶元素交换，不满则则替换
int x = 0;
while (fscanf(fout, "%d", &x) != EOF)
{
if (x > minheap[0])
{
// 替换你进堆
minheap[0] = x;
AdjustDown(minheap, k, 0);
}
}
for (int i = 0; i < k; i++)
{
printf("%d ", minheap[i]);
}
printf("\n");
fclose(fout);
}堆处理大量数据的速度非常快，我们都知道对数的特性，所以堆处理大量数据的能力非常强。在遇到TopK问题或者大量数据排序时，可以考虑使用堆排序。
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