c++多重背包（单调队列优化）

多重背包是01背包的升级版，每种物品可以选择多个，但是朴素做法会超时。单调队列优化是针对多重背包的优化算法，可以大幅度降低时间复杂度。

以下是C++实现：

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int MAXN = 1005;

int f[MAXN], w[MAXN], v[MAXN], cnt[MAXN];
int n, m;

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> w[i] >> v[i] >> cnt[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j < w[i]; j++) {
            deque q;
            int k = 1;
            for (int p = 0; j + p * w[i] <= m; p++) {
                int dp = p * v[i] - (p ? j : 0);
                while (!q.empty() && p - q.front() > cnt[i]) q.pop_front();
                while (!q.empty() && f[k] - k * v[i] < f[q.back()] - q.back() * v[i]) q.pop_back();
                q.push_back(p);
                f[p * w[i] + j] = f[q.front()] + dp;
                k++;
            }
        }
    }
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}

其中，w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值，cnt[i]表示第i个物品的数量。

时间复杂度为O(N * C * log(N * C))。

先看题目：

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V (0

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0 0 0 提示
本题考查多重背包的单调队列优化方法。

输入样例：

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

代码

#include
#include
#include

using namespace std;

const int N = 20010;

int n,m;
int f[N],g[N],q[N];

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    
    for(int i=0;i

1、多重背包：1、循环物品2、循环体积3、循环决策，体积从小到大枚举

2、和 01背包的优化很类似，观察到状态转移方程，对于i阶段，只会用到i-1层的状态

因此可以采用拷贝数组或滚动数组的做法

3、while(head <= tail && f[i-1][q[tail]]+(j-q[tail])/v[i]*w[i] <= f[i-1][j]) tail --;是为了保证单调队列严格单调下降(队头为最大值)，
f[i-1][q[tail]]是刚才的队尾(当前其实已经是j，但j还未加进去，现在正在保证队列单调性),
(j-q[tail])/v[i]是统计队尾和j之间差了k个数，乘w[i]是因为实际上队尾和j之间还差了k个w[i]