二 分 图

什么是二分图:

简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交子集 ，使得每一条边都分别连接两个集合中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图

二分图的性质：

二分图不存在奇数环

染色法判定二分图

例题

给定一个 nn 个点 mm 条边的无向图，图中可能存在重边和自环。

请你判断这个图是否是二分图。

输入格式

第一行包含两个整数 nn 和 mm。

接下来 mm 行，每行包含两个整数 uu 和 vv，表示点 uu 和点 vv 之间存在一条边。

输出格式

如果给定图是二分图，则输出 Yes，否则输出 No。

数据范围

1≤n,m≤1051≤n,m≤105

输入样例：

4 4
1 3
1 4
2 3
2 4

输出样例：

Yes

代码 

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 100010, M = 200010;

int n, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int color[N];

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

bool dfs(int u, int c)
{
    color[u] = c;

    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!color[j])
        {
            if (!dfs(j, 3 - c)) return false;
        }
        else if (color[j] == c) return false;
    }

    return true;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);

    while (m -- )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b), add(b, a);
    }

    bool flag = true;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        if (!color[i])
        {
            if (!dfs(i, 1))
            {
                flag = false;
                break;
            }
        }
    }
    if (flag) puts("Yes");
    else puts("No");
    return 0;
}

匈牙利算法

 

二分图的最大匹配​​​​​

给定一个二分图，其中左半部包含 n1n1 个点（编号 1∼n11∼n1），右半部包含 n2n2 个点（编号 1∼n21∼n2），二分图共包含 mm 条边。

数据保证任意一条边的两个端点都不可能在同一部分中。

请你求出二分图的最大匹配数。

二分图的匹配：给定一个二分图 GG，在 GG 的一个子图 MM 中，MM 的边集 {E}{E} 中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称 MM 是一个匹配。

二分图的最大匹配：所有匹配中包含边数最多的一组匹配被称为二分图的最大匹配，其边数即为最大匹配数。

输入格式

第一行包含三个整数 n1n1、 n2n2 和 mm。

接下来 mm 行，每行包含两个整数 uu 和 vv，表示左半部点集中的点 uu 和右半部点集中的点 vv 之间存在一条边。

输出格式

输出一个整数，表示二分图的最大匹配数。

数据范围

1≤n1,n2≤5001≤n1,n2≤500,
1≤u≤n11≤u≤n1,
1≤v≤n21≤v≤n2,
1≤m≤1051≤m≤105

输入样例：

2 2 4
1 1
1 2
2 1
2 2

输出样例：

2

代码 

#include 
#include 
#include 

using namespace std;
int n1,n2,m;
const int N = 510,M=1e5+10;
int h[N],ne[M],e[M],idx;
bool st[M];
int match[N];
void add(int a, int b) 
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}
bool find(int x)
{
    for(int i=h[x];i!=-1;i=ne[i])
    {
        int j=e[i];
        if(!st[j])
        {
            st[j]=true;
            if(match[j]==0||find(match[j]))
            {
                match[j]=x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}
int main()
{
    cin>>n1>>n2>>m;
    memset(h,-1,sizeof h);
    while (m -- )
    {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        add(a, b);
    }
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n1;i++)
    {
        memset(st,false,sizeof st);
        if(find(i)) res++;
    }
    cout<