从多项式除法来看Reed-Solomon编解码

前言

Reed-Solomon是一种应用广泛的纠错码。$(n,k)$的RS码可以容忍$\frac{n-k+1}{2}$个错误，编码$k$个信息，需要$n$个码字。也就是说，当错误的码字小于$\frac{n-k+1}{2}$时，可以完全恢复$k$个信息。

编码

假设$q$是一个素数，${\mathbb{F}}_q$是有$q$个元素的有限域，$n,k,d$是整数，满足$1\le k<n\le q,d=n-k+1$。
有$n$个不同的${\mathbb{F}}_q$中的元素$a_1,a_2,\cdots ,a_n$，我们要加密$k$个信息$m_1,m_2,\cdots ,m_k$，其中$m_i$是${\mathbb{F}}_q$中的元素。
那么$k$个信息作为系数，可以得到一个$k-1$次的多项式$$f(x)=m_1+m_{2}x+\cdots +m_k{x}^{k-1}.$$
计算码字$$c_i=f(a_i)\in {\mathbb{F}}_q.$$
则我们得到的编码为$$\mathbf{c}=(c_1,c_2,\cdots ,c_n).$$

多项式除法解码

首先计算$g_0(x)={\prod }_{i=1}^n(x-a_i)\in {\mathbb{F}}_q[x].$
第一步：输入一个编码$(c_1,c_2,\cdots ,c_n)$，执行多项式插值，得到$g_1(x)\in {\mathbb{F}}_q[x]$，使得：$$c_i=g_1(a_i),1\le i\le n.$$
第二步：对$g_0(x),g_1(x)$使用扩展欧几里得除法，直到余数$g(x)$的次数小于$\frac{n+k}{2}$.这时有：$$g(x)=u(x)g_0(x)+v(x)g_1(x).$$
第三步：$g(x)$整除$v(x)$，即$g(x)=f_1(x)v(x)+r(x)$满足$v(x)$的次数大于$r(x)$的次数。
如果$f_1(x)$的次数小于$k$并且$r(x)==0$输出$f_1(x)$，其系数就是m，否则输出解码失败。

c++代码

该代码使用了NTL库

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
using namespace NTL;

int n=15;
int k=7;
int prime=17;

Vec<ZZ_pX> partialXgcd(ZZ_pX a,ZZ_pX b,ZZ_pX u0=(ZZ_pX)1,ZZ_pX u1=(ZZ_pX)0,ZZ_pX v0=(ZZ_pX)0,ZZ_pX v1=(ZZ_pX)1){
    ZZ_pX r;
    ZZ_pX q;
    DivRem(q,r,a,b);
    if(deg(b)<(n+k)/2){
        Vec<ZZ_pX> res(INIT_SIZE,3);
        res[0]=b;
        res[1]=u1;
        res[2]=v1;
        return res;
    }
    ZZ_pX u2=u0-q*u1;
    ZZ_pX v2=v0-v1*q;
    return partialXgcd(b,r,u1,u2,v1,v2);
}

ZZ_pX reedSolomon(vector<vector<ZZ_p>> points){
    //ZZ_p::init(ZZ(prime));
    ZZ_pX one(1);
    ZZ_pX g0=one;
    vec_ZZ_p as(INIT_SIZE,points.size()),bs(INIT_SIZE,points.size());
    for(int i=0;i<points.size();i++){
        ZZ_pX tt;
        tt.SetLength(2);
        SetCoeff(tt,1);
        SetCoeff(tt,0,-points[i][0]);
        g0=g0*tt;
        as[i]=points[i][0];
        bs[i]=points[i][1];
    }
    ZZ_pX g1=interpolate(as,bs);
    auto res=partialXgcd(g0,g1);
    res[0]=res[0]/res[2];
    res[0].normalize();
    
    if(deg(res[0])<k)
        return res[0];
    cout<<"Decoding error"<<endl;
    return res[0];
}
int main(){
    ZZ_p::init(ZZ(prime));
    vector<vector<ZZ_p>> points(n,vector<ZZ_p>(2));
    cout<<"Please input a degree "<<k<<" polynomial"<<endl; //the input should be like [1 2 3 4 5 6 7]
    ZZ_pX poly;
    cin>>poly;
    for(int i=0;i<n;i++){
        points[i][0]=i+1;
        points[i][1]=eval(poly,(ZZ_p)i+1); //function eval computes the value of polynomial at a point. 
    }
    ZZ_pX result=reedSolomon(points);
    for(int i=0;i<n;i++){
        ZZ_p tt(points[i][0]);
        cout<<eval(result,tt)<<' '<<points[i][1]<<endl;
    }
    cout<<endl;
}