从多项式除法来看Reed-Solomon编解码

前言

Reed-Solomon是一种应用广泛的纠错码。 ( n , k ) (n,k) (n,k)的RS码可以容忍 n − k + 1 2 \frac{n-k+1}{2} 2nk+1个错误,编码 k k k个信息,需要 n n n个码字。也就是说,当错误的码字小于 n − k + 1 2 \frac{n-k+1}{2} 2nk+1时,可以完全恢复 k k k个信息。

编码

假设 q q q是一个素数, F q \mathbb{F}_q Fq是有 q q q个元素的有限域, n , k , d n,k,d n,k,d是整数,满足 1 ≤ k < n ≤ q , d = n − k + 1 1\leq k1k<nq,d=nk+1
n n n个不同的 F q \mathbb{F}_q Fq中的元素 a 1 , a 2 , ⋯   , a n a_1,a_2,\cdots,a_n a1,a2,,an,我们要加密 k k k个信息 m 1 , m 2 , ⋯   , m k m_1,m_2,\cdots,m_k m1,m2,,mk,其中 m i m_i mi F q \mathbb{F}_q Fq中的元素。
那么 k k k个信息作为系数,可以得到一个 k − 1 k-1 k1次的多项式 f ( x ) = m 1 + m 2 x + ⋯ + m k x k − 1 . f(x)=m_1+m_2x+\cdots+m_kx^{k-1}. f(x)=m1+m2x++mkxk1.
计算码字 c i = f ( a i ) ∈ F q . c_i=f(a_i) \in \mathbb{F}_q. ci=f(ai)Fq.
则我们得到的编码为 c = ( c 1 , c 2 , ⋯   , c n ) . \mathbf{c}=(c_1,c_2,\cdots,c_n). c=(c1,c2,,cn).

多项式除法解码

首先计算 g 0 ( x ) = ∏ i = 1 n ( x − a i ) ∈ F q [ x ] . g_0(x)=\prod_{i=1}^{n}(x-a_i) \in \mathbb{F}_q[x]. g0(x)=i=1n(xai)Fq[x].
第一步:输入一个编码 ( c 1 , c 2 , ⋯   , c n ) (c_1,c_2,\cdots,c_n) (c1,c2,,cn),执行多项式插值,得到 g 1 ( x ) ∈ F q [ x ] g_1(x) \in \mathbb{F}_q[x] g1(x)Fq[x],使得: c i = g 1 ( a i ) , 1 ≤ i ≤ n . c_i=g_1(a_i) , 1\leq i\leq n. ci=g1(ai),1in.
第二步:对 g 0 ( x ) , g 1 ( x ) g_0(x),g_1(x) g0(x),g1(x)使用扩展欧几里得除法,直到余数 g ( x ) g(x) g(x)的次数小于 n + k 2 \frac{n+k}{2} 2n+k.这时有: g ( x ) = u ( x ) g 0 ( x ) + v ( x ) g 1 ( x ) . g(x)=u(x)g_0(x)+v(x)g_1(x). g(x)=u(x)g0(x)+v(x)g1(x).
第三步: g ( x ) g(x) g(x)整除 v ( x ) v(x) v(x),即 g ( x ) = f 1 ( x ) v ( x ) + r ( x ) g(x)=f_1(x)v(x)+r(x) g(x)=f1(x)v(x)+r(x)满足 v ( x ) v(x) v(x)的次数大于 r ( x ) r(x) r(x)的次数。
如果 f 1 ( x ) f_1(x) f1(x)的次数小于 k k k并且 r ( x ) = = 0 r(x)==0 r(x)==0输出 f 1 ( x ) f_1(x) f1(x),其系数就是m,否则输出解码失败。

c++代码

该代码使用了NTL库

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
using namespace NTL;

int n=15;
int k=7;
int prime=17;

Vec<ZZ_pX> partialXgcd(ZZ_pX a,ZZ_pX b,ZZ_pX u0=(ZZ_pX)1,ZZ_pX u1=(ZZ_pX)0,ZZ_pX v0=(ZZ_pX)0,ZZ_pX v1=(ZZ_pX)1){
    ZZ_pX r;
    ZZ_pX q;
    DivRem(q,r,a,b);
    if(deg(b)<(n+k)/2){
        Vec<ZZ_pX> res(INIT_SIZE,3);
        res[0]=b;
        res[1]=u1;
        res[2]=v1;
        return res;
    }
    ZZ_pX u2=u0-q*u1;
    ZZ_pX v2=v0-v1*q;
    return partialXgcd(b,r,u1,u2,v1,v2);
}

ZZ_pX reedSolomon(vector<vector<ZZ_p>> points){
    //ZZ_p::init(ZZ(prime));
    ZZ_pX one(1);
    ZZ_pX g0=one;
    vec_ZZ_p as(INIT_SIZE,points.size()),bs(INIT_SIZE,points.size());
    for(int i=0;i<points.size();i++){
        ZZ_pX tt;
        tt.SetLength(2);
        SetCoeff(tt,1);
        SetCoeff(tt,0,-points[i][0]);
        g0=g0*tt;
        as[i]=points[i][0];
        bs[i]=points[i][1];
    }
    ZZ_pX g1=interpolate(as,bs);
    auto res=partialXgcd(g0,g1);
    res[0]=res[0]/res[2];
    res[0].normalize();
    
    if(deg(res[0])<k)
        return res[0];
    cout<<"Decoding error"<<endl;
    return res[0];
}
int main(){
    ZZ_p::init(ZZ(prime));
    vector<vector<ZZ_p>> points(n,vector<ZZ_p>(2));
    cout<<"Please input a degree "<<k<<" polynomial"<<endl; //the input should be like [1 2 3 4 5 6 7]
    ZZ_pX poly;
    cin>>poly;
    for(int i=0;i<n;i++){
        points[i][0]=i+1;
        points[i][1]=eval(poly,(ZZ_p)i+1); //function eval computes the value of polynomial at a point. 
    }
    ZZ_pX result=reedSolomon(points);
    for(int i=0;i<n;i++){
        ZZ_p tt(points[i][0]);
        cout<<eval(result,tt)<<' '<<points[i][1]<<endl;
    }
    cout<<endl;
}

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