Mynavi Programming Contest 2021 (AtCoder Beginner Contest 201) A~E 题解

A - Tiny Arithmetic Sequence

题目大意

给定序列$A=(A_1,A_2,A_3)$。能否将$A$重新排列，使得$A_3-A_2=A_2-A_1$？

$1\le A_i\le 100$

输入格式

$A_1{A}_2{A}_3$

输出格式

如果能将$A$重新排列使得$A_3-A_2=A_2-A_1$，输出Yes；如果不能，输出No。

样例

$A$	输出
$(5,1,3)$	Yes
$(1,4,3)$	No
$(5,5,5)$	Yes

分析

很容易想到，如果$A_3-A_2=A_2-A_1$，则$A_1\le A_2\le A_3$或$A_3\le A_2\le A_1$必定成立。
因此，我们可以先把$A$按升序排列，再$A_3-A_2=A_2-A_1$是否成立即可。

代码

#include 
#include 
using namespace std;

int main()
{
	int a[3];
	scanf("%d%d%d", a, a + 1, a + 2);
	sort(a, a + 3);
	puts(a[2] - a[1] == a[1] - a[0]? "Yes": "No");
	return 0;
}

---

B - Do you know the second highest mountain?

题目大意

有$N$坐山。第$i$坐山有一个名字$S_i$和高度$T_i$。
输出第二高的山的名字。

$2\le N\le 1000$
$1\le |S_i|\le 15$
$1\le T_i\le 10^5$
$S_i\ne S_j(i\ne j)$
$T_i\ne T_j(i\ne j)$
$S_i$由大小写英文字母和数字组成。

输入格式

$N$
$S_1{T}_1$
$S_2{T}_2$
$⋮$
$S_N{T}_N$

输出格式

输出第二高的山的名字。

样例

样例输入1

3
Everest 8849
K2 8611
Kangchenjunga 8586

样例输出1

K2

第二高的山是K2。

样例输入2

4
Kita 3193
Aino 3189
Fuji 3776
Okuhotaka 3190

样例输出2

Kita

第二高的山是Kita。

样例输入3

4
QCFium 2846
chokudai 2992
kyoprofriends 2432
penguinman 2390

样例输出3

QCFium

第二高的山是QCFium。

分析

这道题其实就是给定求数组$T$中第二大的元素的$S_i$。我们可以利用优先队列实现求第二大的元素。

代码

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

using pis = pair<int, string>;

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);
	int n;
	cin >> n;
	priority_queue<pis, vector<pis>, greater<pis> > q;
	while(n--)
	{
		string s;
		int h;
		cin >> s >> h;
		q.emplace(h, s);
		if(q.size() > 2) q.pop();
	}
	cout << q.top().second << endl;
	return 0;
}

---

C - Secret Number

题目大意

有一个四位的PIN。这个PIN由0~9组成，也可能以0开头。
有一个字符串$S_0{S}_1\dots S_9$，代表每一种数字是否在这个PIN中出现：

• 如果$S_i=$o，这个PIN肯定包含数字$i$；
• 如果$S_i=$x，这个PIN肯定不包含数字$i$；
• 如果$S_i=$?，这个PIN可能包含（也可能不包含）数字$i$。

有多少个合法的PIN？

$S$是一个由o、x、?组成的长度为$10$的字符串。

输入格式

$S$

输出格式

将答案输出为一个整数。

样例

$S$	答案
ooo???xxxx	$108$
o?oo?oxoxo	$0$
xxxxx?xxxo	$15$
极端测试点：$S=$??????????，正确输出：$10000$

分析

因为可能的PIN数量非常少（最多只有$10000$个），所以我们考虑暴力枚举所有可能的PIN，即尝试0000到9999之间所有的PIN。对于每个可能的PIN，我们可以在$\mathcal{O}(|S|)$的时间内判断出它是否合法。
程序的总时间复杂度为$\mathcal{O}(10000|S|)$，由于$10000$和$|S|$都是常数，所以也可以看作$\mathcal{O}(1)$。

代码

#include 
using namespace std;

char s[15];

inline bool valid(int a, int b, int c, int d)
{
	bool used[10] = {false};
	used[a] = used[b] = used[c] = used[d] = true;
	for(int i=0; i<10; i++)
		if(s[i] == 'o')
		{
			if(!used[i])
				return false;
		}
		else if(s[i] == 'x' && used[i])
			return false;
	return true;
}

int main()
{
	scanf("%s", s);
	int ans = 0;
	for(int a=0; a<10; a++)
		for(int b=0; b<10; b++)
			for(int c=0; c<10; c++)
				for(int d=0; d<10; d++)
					ans += valid(a, b, c, d);
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}

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D - Game in Momotetsu World

题目大意

我们有一个$H\times W$的棋盘，它上面每个小格子都是蓝色或红色的。棋盘上$(i,j)$这个点的颜色取决于$A_{i,j}$。如果$A_{i,j}=$+，则$(i,j)$为蓝；如果$A_{i,j}=$-，则$(i,j)$为红。
在棋盘上有一颗棋子，它的初始位置在左上角，也就是$(1,1)$。Takahashi和Aoki要用这颗棋子对战。两人一开始都有$0$分，他们要轮流执行如下操作，Takahashi先走：

• 将棋子往右或下移动（不能移出棋盘）。然后，如果移到的点是蓝色的，对应的玩家得一分；否则，玩家扣一分。

当棋子走到$(H,W)$时，游戏结束。此时，如果两人得分相等，则视为平局；否则，得分多的人胜利。
当两人都按最优操作进行游戏时，求最终的游戏结果。

$1\le H,W\le 2000$
$A_{i,j}$是+或-。

输入格式

$HW$
$A_{1,1}{A}_{1,2}{A}_{1,3}\dots A_{1,W}$
$A_{2,1}{A}_{2,2}{A}_{2,3}\dots A_{2,W}$
$⋮$
$A_{H,1}{A}_{H,2}{A}_{H,3}\dots A_{H,W}$

输出格式

如果Takahashi会赢，输出Takahashi；如果Aoki，输出Aoki；否则，游戏平局，输出Draw。

样例

略，请自行前往AtCoder查看。

分析

本题可以使用动态规划的思想。
我们设$d$为$(\text{Takahashi目前的得分})-(\text{Aoki目前的得分})$，则Takahashi的目标是最大化$d$、Aoki的目标是最小化$d$。我们很容易想到，对于棋子在$(i,j)$时，如果$(i+j)$是奇数，则Aoki走棋，如果它是偶数，则Takahashi走棋。
所以，对于棋盘上的每个点$(i,j)$我们考虑如下$\text{dp}$：

• 如果$(i+j)$是偶数：棋子在$(i,j)$时最小的$d$（这是Aoki走棋）。
• 如果$(i+j)$是奇数：棋子在$(i,j)$时最大的$d$（这是Takahashi走棋）。

我们设$add(i,j)$为玩家把棋子走到$(i,j)$获得的分数，则有如下$\text{dp}$状态：

• 如果$(i+j)$是偶数：$dp(i,j)=\min (dp(i+1,j)-add(i+1,j),dp(i,j+1)-add(i,j+1))$
• 如果$(i+j)$是奇数：$dp(i,j)=\max (dp(i+1,j)+add(i+1,j),dp(i,j+1)+add(i,j+1))$

所以，最终我们只需要通过$dp(0,0)$判断结果即可。如果$dp(0,0)>0$，则Takahashi胜；如果$dp(0,0)<0$，Aoki胜；否则，游戏平局。
程序的总时间复杂度为$\mathcal{O}(NM)$。

代码

注意：我这里的dp运用了滚动表的技巧，所以是一维的，当然也可以使用普通的二维dp。

#include 
#include 
#define maxn 2005
using namespace std;

int dp[maxn], add[maxn][maxn];

int main()
{
	int h, w;
	scanf("%d%d", &h, &w);
	for(int i=0; i<h; i++)
	{
		char tmp[maxn];
		scanf("%s", tmp);
		for(int j=0; j<w; j++)
			add[i][j] = tmp[j] == '+'? 1: -1;
	}
	dp[w - 1] = 0;
	for(int j=w-2; j>=0; j--)
		dp[j] = j + h & 1? dp[j + 1] + add[h - 1][j + 1]: dp[j + 1] - add[h - 1][j + 1];
	for(int i=h-2; i>=0; i--)
	{
		dp[w - 1] = i + w & 1? dp[w - 1] + add[i + 1][w - 1]: dp[w - 1] - add[i + 1][w - 1];
		for(int j=w-2; j>=0; j--)
			if(i + j & 1)
				dp[j] = min(dp[j] - add[i + 1][j], dp[j + 1] - add[i][j + 1]);
			else dp[j] = max(dp[j] + add[i + 1][j], dp[j + 1] + add[i][j + 1]);
	}
	if(dp[0] > 0) puts("Takahashi");
	else if(dp[0] < 0) puts("Aoki");
	else puts("Draw");
	return 0;
}

---

E - Xor Distances

题目大意

我们有一棵由$N$个顶点组成的加权树。第$i$条边双向连接着顶点$u_i$和$v_i$且有一个权值$w_i$。
对于一对顶点$(x,y)$（$x\ne y$），我们如下定义$\mathrm{dist}(x,y)$：

• $\mathrm{dist}(x,y)=x$和$y$之间的最短路径经过的所有边权值的异或结果。

输出每对点$(i,j)$的$\mathrm{dist}(i,j)$之和，对$(10^9+7)$取模，即$\sum _{i=1}^{N-1}\sum _{j=i+1}^N\mathrm{dist}(i,j)\mathrm{mod}(10^9+7)$。

$1\le N\le 2\times 10^5$
$1\le u_i<v_i\le N$
$0\le w_i<2^{60}$

输入格式

$N$
$u_1{v}_1{w}_1$
$u_2{v}_2{w}_2$
$⋮$
$u_{N-1}{v}_{N-1}{w}_{N-1}$

输出格式

输出每对点$(i,j)$的$\mathrm{dist}(i,j)$之和，对$(10^9+7)$取模。

样例

略，请自行前往AtCoder查看

分析

首先，我们先看数据范围。
$1\le N\le 2\times 10^5$
这样一来，最暴力的$\mathcal{O}(n^3)$解法，即枚举所有对点$\mathcal{O}(n^2)$、找最短路$\mathcal{O}(n)$就肯定不行了。
其次，我们尝试优化暴力过程，考虑异或（$\oplus$）的几个特征：

• $0\oplus A=A$
• $A\oplus A=0$
• $A\oplus B=B\oplus A$
• $A\oplus B\oplus B=A$

最后一个特征（异或再异或会抵消掉）实际上就是在告诉我们，$\mathrm{dist}(x,y)=\mathrm{dist}(n,x)\oplus \mathrm{dist}(n,y)$，因为$(n,y)$的最短路径中到$n$的多余的一部分直接被最后一次异或抵消掉了。如果不能理解上面的证明，可以用下面的方法证明（设$k$为$x$和$y$的最小共同祖先）：
$$\begin{array}{rl}\mathrm{dist}(x,y)& =\mathrm{dist}(x,k)\oplus \mathrm{dist}(y,k)\\ & =\mathrm{dist}(x,k)\oplus \mathrm{dist}(y,k)\oplus (\mathrm{dist}(n,k)\oplus \mathrm{dist}(n,k))\\ & =(\mathrm{dist}(x,k)\oplus \mathrm{dist}(n,k))\oplus (\mathrm{dist}(y,k)\oplus \mathrm{dist}(n,k))\\ & =\mathrm{dist}(x,n)\oplus \mathrm{dist}(y,n)\end{array}$$

这时，我们可以令$n=1$，并从$n$开始跑一遍搜索，计算出所有的$\mathrm{dist}(n,x)$（时间复杂度$\mathcal{O}(n)$），再对所有的$(i,j)$求出所有的$\mathrm{dist}(n,i)\oplus \mathrm{dist}(n,j)$并求和（时间复杂度$\mathcal{O}(n^2)$），算出结果。这样做的总时间复杂度为$\mathcal{O}(n^2)$。可惜，这样还是过不去。
我们考虑进一步优化。我们发现，对于每个二进制位，在异或的操作下，一个$1$和一个$0$就能组成一个$1$。所以，我们可以统计每一位的$0$和$1$的个数，计算它们的乘积并相加即可。

代码

这里的搜索推荐$\text{BFS}$，因为这道题中它比$\text{DFS}$好写且更快，当然$\text{DFS}$也可以实现。

#include 
#include 
#pragma GCC optimize("Ofast")
#define maxn 200005
#define MOD 1000000007LL
using namespace std;

using LL = long long;
vector<pair<int, LL>> G[maxn];
LL d[maxn];

int main()
{
	int n;
	scanf("%d", &n);
	for(int i=1; i<n; i++)
	{
		int u, v;
		LL w;
		scanf("%d%d%lld", &u, &v, &w);
		G[--u].emplace_back(--v, w);
		G[v].emplace_back(u, w);
	}
	queue<int> q;
	q.push(0);
	for(int i=1; i<n; i++) d[i] = -1;
	while(!q.empty())
	{
		int v = q.front(); q.pop();
		for(auto [u, w]: G[v])
			if(d[u] == -1)
				q.push(u), d[u] = d[v] ^ w;
	}
	LL ans = 0LL;
	for(int i=0; i<60; i++)
	{
		int cnt = 0;
		for(int j=0; j<n; j++)
			if(d[j] >> i & 1LL)
				cnt ++;
		if((ans += (1LL << i) % MOD * cnt % MOD * (n - cnt) % MOD) > MOD)
			ans -= MOD;
	}
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}