Python傅立叶变换

1. 什么是傅里叶变换？

在数学中，变换技术用于将函数映射到与其原始函数空间不同的函数空间。傅里叶变换时也是一种变换技术，它可以将函数从时域空间转换到频域空间。例如以音频波为例，傅里叶变换可以根据其音符的音量和频率来表示它。

我们可以说，任何函数的傅里叶变换所执行的变换都是频率的函数。其中结果函数的大小是原始函数所包含的频率的表示。

让我们举一个信号的例子，它的时域函数如下所示：

在同一时间范围内获取另一个信号的一部分

将这两个信号的称为 A(n) 和 B(n)，其中 n 是时域。因此，如果我们添加这些信号，信号的结构将如下所示：

C(n) = A(n) + B(n)

可以看到，函数的信号相加是将两个信号进行了加的操作，如果我们试图从这个相加信号 C 中提取信号 A 或 B，我们会遇到一个问题，因为 这些信号只是功率相加，和时间没有关系。也就是说相加的操作是同一时间上的功率的相加。

可以在上图中看到，频域可以很容易地突出信号之间的差异。如果希望将这些信号转换回时域，我们可以使用傅里叶逆变换。

2. numpy.fft与scipy.fft

Python的numpy和scipy模块提供了数学中所需的所有转换技术，所以可以直接使用它。

下面的例子都是用的scipy，但是实际使用中如果能不用scipy尽量不用，毕竟少用一个库就少一些部署上的麻烦。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.fft import fft, fftfreq

制作正弦波

# sample points
N = 1200

# sample spacing
T = 1.0 / 1600.0

x = np.linspace(0.0, N*T, N, endpoint=False)
sum = np.sin(50.0 * 2.0 * np.pi*x) + 0.5*np.sin(80.0 * 2.0 * np.pi*x)

plt.plot(sum)
plt.title('Sine wave')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.grid(True, which='both')
plt.show()

上面的输出中，可以看到使用 NumPy 生成的正弦波，现在可以使用 scipy 库的 FFT 模块对其进行转换。

sumf = fft(sum)
xf = fftfreq(N, T)[:N//2]
plt.ylabel('frequency')
plt.xlabel('sample')
plt.title("FFT of sum of two sines")
plt.plot(xf, 2.0/N * np.abs(sumf[0:N//2]))
plt.show()

fft输出的结果是复数，其中实部表示频率，虚部表示相机，如果只关心频率，取绝对值即可。 

现在可以清楚地看到各种波的频率是多少，作为时域的函数形成的时这些并不明显，只有在频域表示时才能清楚的看到这些区别。

参考文献

主要内容来自下文，内容略有增加

神经网络与傅立叶变换有何关系？