CYEZ 模拟赛们

第一场

rk6。

题面

前言

抽象。打不过暴力老哥，确实萌新。

A 人类基因

萌萌题。代码。

B Bribing Friends

$O(n^4)$ 做法：代码。

正解：确定选择奶牛方案时，让甜筒优先作用于 $x$ 较小的奶牛不会更劣。那么按 $x$ 排序后，最终的答案一定形如：用甜筒处理前几个，用甜筒和前混合处理某一个，用钱处理后几个。

分别 01 背包处理，枚举断点即可。代码

C 禅与园林艺术

抽屉原理考虑前缀和。余数有 $p$ 种，如果区间长度 $>p$，显然有两个前缀和的余数相同，答案为 $0$。否则暴力计算。时间复杂度 $O(m{p}^2)$。代码。

没开 long long 挂成 72。

D 心理学概论

数据很抽象，暴力能过。

从大往小枚举 $a_i$ 作为 ${\max }_a$，则只需关心比 ${\max }_a$ 大的，相当于每次加入一个物品。

对于每一个可能的 ${\max }_b$，需要求出大于 ${\max }_b$ 的最大 $c$，要维护一个 $c$ 的后缀最大值。
全局维护一个 ${\max }_b+{\max }_c$ 的最小值。

考虑权值线段树。

具体来说，随着 ${\max }_b$ 的增大，${\max }_c$ 一定是单调不增的。那么加入一个物品 ${\max }_c$ 发生改变的一定是一段连续区间，二分找到区间更新。对于区间 ${\max }_c$ 修改的区间，其 ${\max }_b$ 取区间最左 $b$。时间复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$。

具体实现与代码

总结

预估 $100+76.2+100+20=296.2$，实际 $72.7+38.1+72.7+9.1=192.6$。

发挥抽象。A B 理解错题意，C 想到了抽屉原理但没开 long long，D 的暴力没打好。

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第二场

rk1。

题面

A 毒瘤计数题

萌萌题。

枚举 $i=\min (S)$，答案就是 ${\sum }_{i=1}^n{2}^{n-i}(2^{i-1}-1)$，容易化成 $n\times 2^{n-1}-2^n+1$。

开 __int128。

代码

B 普通图论题

卡卡题。

$O(n)$ 换根。记录最小值、次小值。

代码

C 简单数据结构题

难难题。

算法 1：

标记区间的并，枚举关系，时间复杂度 $O(q(n+m))$。

算法 2：

把互斥关系视为二维点。对于 $x\in [l_i,r_i]$，$\forall j$，数 $y\in [l_i,r_j]$ 时是否有点。

二维数点一般做法是用 BIT，我们将询问离线后搭配扫描线可以做到 $O((\sum k^2+m)\log n)$。

对于在线做法，考虑可持久化线段树。具体地，考虑维护 $n$ 棵线段树，每棵线段树维护 $x\in [1,i]$ 的矩阵点数。查矩形 $(l_i,r_i)(l_j,r_j)$ 就拿第 $r_i$ 棵线段树的区间询问减去第 $l_i-1$ 棵的。复杂度 $O(m\log n+\sum k^2\log n)$。

根号分治

算法 1 在 $q$ 较小时效率较高，算法 2 在 $k$ 较小时效率较高。而随着 $q$ 的增大，$k$ 减小。因此考虑分治，$k>B$ 时算法 1，$k\le B$ 时算法 2。

分别计算上界：算法 1 至多执行 $\frac{\sum k}{B}$ 次，上界 $O(\frac{\sum k}{B}(n+m))$。算法 2 在 $k$ 较大时会取到上界，所有的 $k=B$ 时，算法 2 至多执行 $\frac{\sum k}{B}$ 次，上界 $O(\frac{\sum k}{B}\times B^2\log n)$。

总时间复杂度为 $O(\frac{\sum k}{B}(n+m)+\frac{\sum k}{B}\times B^2\log n)$。$n,m,q,\sum k$ 同阶时，$B=\sqrt{\frac{n}{\log n}}$ 时取得最小值。

实现

小 trick：只需要存有用的结点，即不建树，只修改。

代码

总结

预估 $100+100+40=240$，实际 $100+90+60=250$。B 同样的代码赛后能过，评测机的锅。萌新 A B 花的时间有点长，遂 C 打了个还算优秀的暴力，转二维数点和根号分治比较难想到。

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第三场

rk2。

题面

A String Master

萌萌题，但是看错题。

代码

B 平均数

典典题。

二分平均值 $x$。统计均值小于 $x$ 的方案数，每个数减去 $x$ 后即统计多少个区间和 $<0$。容易发现是个二维偏序问题，归并排序统计即可。

代码

C Tourist Attractions

典典题。

$n\le 1500$，$O(n^3)$ 可以用 bitset 优化。

记 $S$ 为 $u,v$ 均能到达的点集，答案为：
$$\sum _{(u,v)\in E}(\mathrm{deg}(u)-1)\times (\mathrm{deg}(v)-1)-|S|$$

代码

D Walk

哈哈题。

大体思路就是每个点被 bfs 更新的第一次就是最短路。

$O(n^2+n+m)$：暴力建边 bfs 即可。

考虑建权值虚点，原图点向对应权值虚点建权值为 $1$ 边。

$O(3^{20}+n+m)$：对于每个 $va{l}_i$ 向其子集虚点建权值为 $0$ 的边。

$O(20\times 2^{20}+n+m)$：为避免重复的访问，对于每个 $va{l}_i$ 向 $va{l}_i$ 去掉一位的权值虚点建权值为 $0$ 的边。

总结

预估 $100+100+100+40=340$，实际 $10+40+100+20=260$。A 题目看错，提交期间重新交了一发。B 用 BIT 多次离散化会比归并多点常数，被卡到了 $40$。C 没啥好说的。D 建虚点的套路比较难想。挂了 $170$ 分？

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第四场

rk6。

题面

链接

A Food Chain

萌萌题。卡常。第二次考了爆 long long 的问题。

代码

B So many prefix?

kmp 求个 fail，从后往前数数即可。

代码

C Illegal Motor

分层图跑最短路，点数 $O(nk)$ 级别，边数 $O(mk)$ 级别。

代码

总结

不想做评价。