线性筛法（C++）

我终于终于终于........来了。

我们今天直接上干货------干筛法。

我们首先考虑这样一个事，一个数如果是质数，那他的倍数一定是合数，我们根据这一结论筛掉不必要的判断。

int primes(int n)
{
	st[1] = true;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!st[i])prime[++k] = i; //如果这个数没有筛过，就把它放入数组
		
		for(int j=1;prime[j]<=n/i;j++)//我们遍历素数数组，将全部素数的i倍进行标记
		{
			st[prime[j] * i] = true;
		}
	}
	return k; 
}

这样的话，时间复杂度是O( n * log log n).。

没错这个就是埃及人的筛法，简称埃式筛法。

然后我们会发现一个问题，同一个合数可能会被两个质数筛，举个栗子：

当 i = 4的时候，数组中元素 [ 2,3 ]  3会把12筛掉；

当 i = 6的时候，数组中元素[ 2, 3, 5] 这时候 2 又会发挥作用，又筛了一遍 12 ；

那我们有没有办法，只筛一次呢，线性筛正式登场。

先上代码：

int primes(int n)
{
	st[1] = true;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!st[i])prime[++k] = i;
		
		for(int j=1;prime[j]<=n/i;j++)
		{
			st[prime[j] * i] = true;
			if(i % prime[j] == 0)break;
		}
	}
	return k; 
}

这时候没有仔细看的小朋友就说了，这俩代码有区别吗。

没错有区别，而且区别很大，这个代码的时间复杂度是O( n );

区别就在 if(i % prime[j] == 0)break; 这样我们就可以保证我们的代码，对于同一个合数，只会被他最小的质因子筛掉，尽管看着是两重循环，但是时间上代码也只是遍历了一遍。

重点来了！！！

当i是prime[j]的整数倍时，记 m = i / prime[j]，那么 i * prime[j+1] 
就可以变为 (m * prime[j+1]) * prime[j]，这说明 i * prime[j+1] 是 prime[j] 的整数倍
不需要再进行标记(在之后会被 prime[j] * 某个数 标记)
对于 prime[j+2] 及之后的素数同理，直接跳出循环，这样就避免了重复标记。

还是刚才的例子；

当 i= 4 的时候；i % 2 == 0 ；跳出循环，这样就防止了 12 被 3 标记。

当 i= 6 的时候  12 就乖乖的被 2 标记了，要是还是不明白，可以自己模拟一下。

我们来说一下为什么循环判断中，没有j
prime数组中存有<=i的所有质数
当i是合数时, pj为i的最小质因子时break, j不会越界;
当i是质数时, primes数组的最后一个元素就是i, 当pj==i时, i%pj==0; break, j也不会越界;

洛谷题：【模板】线性筛素数 - 洛谷