次小生成树 O(V^2)

| 次小生成树 O(V^2)

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结论 次小生成树可由最小生成树换一条边得到 .

证明 : 可以证明下面一个强一些的结论：

T 是某一棵最小生成树， T0 是任一棵异于 T 的树，通过变换 T0 --> T1 -->

T2 --> ... --> Tn (T) 变成最小生成树 . 所谓的变换是，每次把 T_i 中的

某条边换成 T 中的一条边 , 而且树 T_(i+1) 的权小于等于 T_i 的权 .

具体操作是：

step 1. 在 T_i 中任取一条不在 T 中的边 u_v.

step 2. 把边 u_v 去掉，就剩下两个连通分量 A 和 B ，在 T 中，必有唯一的

边 u'_v' 连结 A 和 B.

step 3. 显然 u'_v' 的权比 u_v 小 ( 否则 ,u_v 就应该在 T 中 ). 把 u'_v'

替换 u_v 即得树 T_(i+1).

特别地：取 Tn 为任一棵次小生成树， T_(n-1) 也就是次小生成树且跟 T

差一条边 . 结论得证 .

算法：只要充分利用以上结论 , 即得 V^2 的算法 . 具体如下：

step 1. 先用 prim 求出最小生成树 T. 在 prim 的同时，用一个矩阵

max[u][v] 记录在 T 中连结任意两点 u,v 的唯一的路中权值最大的那条边的

权值 . ( 注意这里 ). 这是很容易做到的，因为 prim 是每次增加一个结点 s, 而

设已经标号了的结点集合为 W, 则 W 中所有的结点到 s 的路中的最大权值的边就

是当前加入的这条边 . step 1 用时 O(V^2).

step 2. 枚举所有不在 T 中的边 u_v, 加入边 u_v 替换权为 max[u][v] 的边 .

不断更新求最小值，即次小生成树 . step 2 用时 O(E). 故总时间为 O(V^2).