2019-07-12 Seminar (spectral curve II)

这周是本学期最后一次seminar了，还是讲了classical spectral curve的部分，和上次讲得很多地方是重合的，只是多了一些细节。巫条同学是讲了一些辛几何的内容，重新再看这个这个内容，还是有一些启发和思考的。一个核心问题还是，如果我们把经典力学抽象成辛几何，那么可积系统应该怎样的描呢，不同于黎曼几何的丰富，所有维数相同的辛几何都是同构的，locally都有唯一的形式。从这个角度出发，似乎辛几何不是描述可积系统最自然的空间。而事实上也是如此，我们是用了一个Riemann surface。这样来看是不是说，如果一个系统的相空间可以映射成一个Riemann surface，就可说明他是可积的了呢？但是从辛几何的角度出发，也可以看出，几何本身并不是物理系统的唯一性质，还包括里面的flow。虽然不同系统的相空间对应的辛几何可能是一样的，但是不同的Hamiltonian定义了不同的一组flows。在黎曼几何里，保持黎曼 matric不变的flow的个数总是有限的，对应的向量场称为Killing vector，可以看做是保持matric不变的diffeomorphism的生产元。但是在symplectic geometry里，保持辛结构也就是closed two form的flow是无穷多个的：对于每一个closed 的1 form，都可以由辛结构的逆诱导一个保证辛结构不变的向量场。也就是说在辛几何了，每一个closed form都对应了一个“Killing vector”，当你沿着他的方向平移的时候，辛结构不变，这个Killing vector也就是保证symplectic form不变的diffeomorphism的生产元。从物理的角度来说，这些diffeomorphism就对应了所有的canonical transformations。因为所有exact的form都是closed，所以对任意的函数求外微分都可以得到closed form，也就对应了一个canonical transformation 的flow。 系统的Hamiltonian就生成了时间演化这个canonical transformation。（题外话，这个印象特别深刻，大二的时候开经典力学的讨论班，这个内容是我讲的，还记得当时自己连manifold这种概念不懂。更别提什么微分几何，或者辛几何，李代数了。再有一个题外话，就是我们第一个讨论班不是经典力学而是量子力学用的Shankar的教材 The principles of quantum mechanics，也是第一次看外文教材呀。里面的内容也是记得很清晰。）很自然地会问这一个问题：the first cohomology group（也就是non-exact的closed one form）对应了什么样的正则变换呢？换句话是说，他们有什么特别的物理意义吗？

刚才说了，除了辛几何本身，确定一个系统，还需要specify一个特殊的flow对应了Hamiltonian。系统的守恒量也就是在这个flow上不变的函数，也就是说有这个函数生成的flow和Hamiltonian的flow垂直，也就是两个函数的Possion bracket为0，也就是对应的两个向量场可対易，也就是两个向量场在由symplectic定义下内积为0. 这样互相対易的flow最多为N个，2N为相空间的维数，如果有N个这样的flow，系统就是可积的。当然了locally，你总是可以找到N个互相垂直的向量，但是这里我们要求N个互相垂直的完备的向量场。

这次讲的spectral curve是一个在AdS5 S5背景下的弦论的一个例子，是在经典的情况下讨论的。从Lax pair的形式，可以直接得到spectral curve的信息，这里是指Monodromy本征值（quasi momentum）的信息。首先是Lax pair里面的singularity也是quasi momentum的singularity。然后除了这些以外，还有而外的singlarity来自于当两个quasi momentum重合的时候，从之前的分析可以得知这会导致一个square root的singularity。spectral curve （或者说全部的quasi momentum）可以看成是一个（一组）半纯函数，所以几乎所有信息都encode在singularity里。

因为这个square singularity会改变quasi momentum的label，为了避免label的ambiguity，所以用这些singularity也就是branch cut来label 我们的spectral curve （quasi momentum）。所以spectral curve的moduli space就是singularity的信息来刻画的。而我们的想法是，spectral curve的moduli space 和弦论的解的空间（经典）是对应的：不等价的spectral curve对应了不同的弦论的states。所以求解弦论的问题转化为了找spectral curve （Riemann surface）的moduli space的问题。

再来总结一下这个spectral curve （SC）的logic。可以对比Algebraic Bethe Ansatz（ABA）的图像来看。
在ABA里，出发点是Lax operator （or R matrix）。然后定义transfer matrix ，选定reference state，利用transfer matrix 里的算符构造整个Hilbert space，其中states是由Bethe root 来label。S-matrix由 operator algebra给出。
在SC里，出发点也是Lax operator，然后得到Monodromy和spectral curve。spectral curve的moduli space构成了整个解空间。不同singularity对应了不同的states，然后singularity和singularity之间的关系给出S-matrix。