差分方程模型:基金运作与管理

背景

诺贝尔奖 在他逝世的前一年,立嘱将其遗产的大部分(约920万美元)作为基金,将每年所得利息分为5份,设立物理、化学、生理或医学、文学及和平5种奖金(即诺贝尔奖),授予世界各国在这些领域对人类作出重大贡献的人。其中炸药为最为出名的一项。人造元素锘(Nobelium)就是以诺贝尔命名的。(1968年又增设经济学奖),每年在诺贝尔逝世日12月10日颁发,以表彰在以上各个领域对人类作出难以磨灭的伟大贡献的人们。

 【模型假设】

  1. 每年奖金金额一定,一次性在年底支出
  2. 基金经营期间,基金的年收益率不变
  3. 当年年初的基金额等于上年基金额的本息减去奖金额
  4. 基金的累计按照复利计算

【符号说明】

差分方程模型:基金运作与管理_第1张图片

 【建立模型】

根据假设(1)-(4),第t年年末有基金额为At,第t+1年基金收益为At(1+r),再支出奖金金额B,就是第t+1年年末基金额At+1,即【22】

这是一个一阶常系数非齐次差分方程,其对应的齐次方程的通解为【23】

易观察【22】的一个特解为所以【22】的通解为

又由初值条件A0,得到【22】的特解为【24】

其中,A0,B,r,At中只要知道三个,就可以求出剩下一个。 差分方程模型:基金运作与管理_第2张图片【24】

【模型应用】 

某企业以该企业命名建立一项奖励基金,计划每年年终发放一次,奖金为一万元,如果基金的年收益率为15%,奖金发放年限为10年,则以复利计算,原始基金应为多少?如果是永续基金,原始基金又为多少?

1、发放年限10年,初始基金如何?

发放年限为十年,意味着第10年末基金余额为0,即A10=0, r=0.15,B=10000,代入【24】,得 

差分方程模型:基金运作与管理_第3张图片 

解之得: 

2、若做成永续系基金,又如何? 

  如果是永续基金,意味着每一年年末发放奖金后,基金余额不低于年初基金的数值,即 

不妨取A1>=A0,即差分方程模型:基金运作与管理_第4张图片

 等价变形得差分方程模型:基金运作与管理_第5张图片(即所发奖金不能超过年利息)

将B=10000,r=0.15代入上式, 得

 为了管理层普通人员便于管理,现将10年期限基金和永续基金的逐年运作数据列于表1和表2。

                                  表1 10年基金运作一览表:r=0.15  单位(元) 

年份

年初基金

年底末基金

发放奖金

基金余额

1

50187.68

57715.84

10000

47715.84

2

47715.84

54873.22

10000

44873.22

3

44873.22

51704.20

10000

41704.20

4

41604.20

47844.83

10000

37844.83

5

37844.83

43521.55

10000

33521.55

6

33521.55

38549.78

10000

28549.78

7

28549.78

32832.25

10000

22832.25

8

22832.25

26257.09

10000

16257.09

9

16257.09

18695.65

10000

8695.65

10

8695.65

10000.00

10000

0.00

                                     表2   永续基金运作一览表:r=0.15  单位(元)

年份

年初基金

年底末基金

发放奖金

基金余额

1

66666.67

76666.67

10000

66666.67

2

66666.67

76666.67

10000

66666.67

3

66666.67

76666.67

10000

66666.67

10

66666.67

76666.67

10000

66666.67

 3、模型推广

基金的创始者如果考虑到通货膨胀,考虑每年发放的奖金不是固定的,而是每年递增5%,该如何运作这项基金?

设初始奖金金额为B,并且每年递增的比例为5%。假设每年的通货膨胀率为r。

  1. 第一年后,奖金金额为B。
  2. 第二年后,奖金金额为B + B * 0.05 - B * r。
  3. 第三年后,奖金金额为B + (B + B * 0.05 - B * r) * 0.05 - (B + B * 0.05 - B * r) * r。
  4. 以此类推,第n年后的奖金金额为前一年奖金金额加上前一年奖金金额乘以0.05,再减去前一年奖金金额乘以通货膨胀率r。

这个差分方程可以写成递推式的形式:

B(n) = B(n-1) + B(n-1) * 0.05 - B(n-1) * r

其中,B(n)表示第n年后的奖金金额,B(n-1)表示第n-1年后的奖金金额。

使用这个递推式,你可以计算每年的奖金金额并进行预测。需要注意,通货膨胀率r可能会每年变化,所以在实际运作中,你需要根据实际情况进行调整。

4、模型对比

将基金管理模型与还房贷模型对比,有何异同?

相似之处:

  1. 都是基于数学模型来进行管理和规划的。
  2. 都涉及到资金的增长或减少,通过规划和决策来实现长期目标。
  3. 都需要考虑时间价值的因素,如利息、回报率等。

差异之处:

  1. 对象不同:基金管理模型是应用于投资基金等金融工具的管理,而房贷模型是应用于购房者贷款还款的模型。
  2. 目标不同:基金管理模型的目标通常是实现资金的增值,从而使投资者获得回报;房贷模型的目标是管理借款人的还款计划,确保按时偿还贷款。
  3. 风险和收益:基金管理涉及更多的投资风险和回报预期,需要管理人员进行投资决策和风险控制;房贷模型更多地关注还款能力和管理风险,以确保按时还款而不会陷入经济困境。
  4. 时间尺度:基金管理模型通常用于长期投资,涉及更长的时间尺度,可能需要考虑更多的市场波动和周期性因素;房贷模型通常涉及中长期还款计划,通常以月或年为单位。

尽管基金管理模型和房贷模型有相似之处,但由于它们的不同目标和应用领域,其模型和方法有所不同。对于每种模型,都需要根据具体情况进行定制和调整,以满足特定的管理需求。

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