【算法】矩阵快速幂优化动态规划

知识讲解

矩阵快速幂可以将 $O(n)$ 的 DP 优化成 $O(\log n)$ 的时间复杂度。

前置知识——快速幂，可见：【算法基础：数学知识】4.4 快速幂

---

我们拿递推公式 $dp[i]=dp[i-1]+[i-2]$ 举例，
为了将其表示成矩阵乘法，添加一个式子 $dp[i-1]=dp[i-1]$
两个式子合并可以得——

这是因为 $dp[i]=1\ast dp[i-1]+1\ast [i-2]$ , $dp[i-1]=1\ast dp[i-1]+0\ast [i-2]$

这样就可以对递推矩阵使用快速幂来将 n 次递推的时间复杂度简化到 logn。

题目列表

[矩阵快速幂] 题目列表

题目列表来源：https://leetcode.cn/problems/string-transformation/solutions/2435348/kmp-ju-zhen-kuai-su-mi-you-hua-dp-by-end-vypf/

70. 爬楼梯

https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs/

提示：
1 <= n <= 45

解法1——线性DP

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        int[] dp = new int[n];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 2;
        for (int i = 2; i < n; ++i) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n - 1];
    }
}

解法2——矩阵快速幂

根据递推公式，可以得出矩阵快速幂的矩阵是什么。

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if (n <= 2) return n;
        // m是根据递推公式来的
        int[][] m = {
            {1, 1},
            {1, 0}
        };
        return pow(m, n - 2)[0][0];
    }

    public int[][] pow(int[][] m, int k) {
        // dp[0] = 1,dp[1] = 2
        int[][] res = {
            {2, 0},
            {1, 0}
        };
        for (; k != 0; k /= 2) {
            if (k % 2 == 1) res = mul(m, res);
            m = mul(m, m);
        }
        return res;
    }

    public int[][] mul(int[][] x, int[][] y) {
        int[][] res = new int[2][2];
        for (int i = 0; i < 2; ++i) {
            for (int j = 0; j < 2; ++j) {
                res[i][j] = x[i][0] * y[0][j] + x[i][1] * y[1][j];
            }
        }
        return res;
    }
}

也可以更简洁一些，从 dp[0] 开始写，代码如下：

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        // m是根据递推公式来的
        int[][] m = {
            {1, 1},
            {1, 0}
        };
        return pow(m, n)[0][0];
    }

    public int[][] pow(int[][] m, int k) {
        // dp[0] = 1
        int[][] res = {
            {1, 0},
            {0, 0}
        };
        for (; k != 0; k /= 2) {
            if (k % 2 == 1) res = mul(m, res);
            m = mul(m, m);
        }
        return res;
    }

    public int[][] mul(int[][] x, int[][] y) {
        int[][] res = new int[2][2];
        for (int i = 0; i < 2; ++i) {
            for (int j = 0; j < 2; ++j) {
                res[i][j] = x[i][0] * y[0][j] + x[i][1] * y[1][j];
            }
        }
        return res;
    }
}

509. 斐波那契数

https://leetcode.cn/problems/fibonacci-number/

提示：
0 <= n <= 30

跟上一题差不多，注意初始值变了。

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if (n == 0) return n;
        // m是根据递推公式来的
        int[][] m = {
            {1, 1},
            {1, 0}
        };
        return pow(m, n - 1)[0][0];
    }

    public int[][] pow(int[][] m, int k) {
        // dp[0] = 1
        int[][] res = {
            {1, 0},
            {0, 0}
        };
        for (; k != 0; k /= 2) {
            if (k % 2 == 1) res = mul(m, res);
            m = mul(m, m);
        }
        return res;
    }

    public int[][] mul(int[][] x, int[][] y) {
        int[][] res = new int[2][2];
        for (int i = 0; i < 2; ++i) {
            for (int j = 0; j < 2; ++j) {
                res[i][j] = x[i][0] * y[0][j] + x[i][1] * y[1][j];
            }
        }
        return res;
    }
}

1137. 第 N 个泰波那契数

https://leetcode.cn/problems/n-th-tribonacci-number/

提示：
0 <= n <= 37
答案保证是一个 32 位整数，即 answer <= 2^31 - 1。

对矩阵稍作修改即可。

class Solution {
    public int tribonacci(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        // m是根据递推公式来的
        int[][] m = {
            {1, 1, 1},
            {1, 0, 0},
            {0, 1, 0}
        };
        return pow(m, n - 2)[0][0];
    }

        public int[][] pow(int[][] m, int k) {
        // dp[0] = 0, dp[1] = 1, dp[2] = 1
        int[][] res = {
            {1, 0, 0},
            {1, 0, 0},
            {0, 0, 0}
        };
        for (; k != 0; k /= 2) {
            if (k % 2 == 1) res = mul(m, res);
            m = mul(m, m);
        }
        return res;
    }

    public int[][] mul(int[][] x, int[][] y) {
        int[][] res = new int[3][3];
        for (int i = 0; i < 3; ++i) {
            for (int j = 0; j < 3; ++j) {
                res[i][j] = x[i][0] * y[0][j] + x[i][1] * y[1][j] + x[i][2] * y[2][j];
            }
        }
        return res;
    }
}

1220. 统计元音字母序列的数目

https://leetcode.cn/problems/count-vowels-permutation/

提示：
1 <= n <= 2 * 10^4

解法1——线性DP

class Solution {
    final long MOD = (int)1e9 + 7;
    public int countVowelPermutation(int n) {
        long[][] dp = new long[n][5];
        Arrays.fill(dp[0], 1);
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][1];
            dp[i][1] = (dp[i - 1][0] + dp[i - 1][2]) % MOD;
            dp[i][2] = (dp[i - 1][0] + dp[i - 1][1] + dp[i - 1][3] + dp[i - 1][4]) % MOD;
            dp[i][3] = (dp[i - 1][2] + dp[i - 1][4]) % MOD;
            dp[i][4] = dp[i - 1][0];
        }
        long ans = 0;
        for (long x: dp[n - 1]) ans = (ans + x) % MOD;
        return (int)ans;
    }
}

解法2——矩阵快速幂优化DP

class Solution {
    final long MOD = (int)1e9 + 7;

    public int countVowelPermutation(int n) {
        long[][] m = {
            {0, 1, 0, 0, 0},
            {1, 0, 1, 0, 0},
            {1, 1, 0, 1, 1},
            {0, 0, 1, 0, 1},
            {1, 0, 0, 0, 0}
        };
        long[][] res = pow(m, n - 1);
        long ans = 0;
        for (int i = 0; i < 5; ++i) ans = (ans + res[i][0]) % MOD;
        return (int)ans;
    }

    public long[][] pow(long[][] m, int k) {
        long[][] res = {
            {1, 0, 0, 0, 0},
            {1, 0, 0, 0, 0},
            {1, 0, 0, 0, 0},
            {1, 0, 0, 0, 0},
            {1, 0, 0, 0, 0}
        };
        for (; k != 0; k /= 2) {
            if (k % 2 == 1) res = mul(m, res);
            m = mul(m, m);
        }
        return res;
    }

    public long[][] mul(long[][] x, long[][] y) {
        long[][] res = new long[5][5];
        for (int i = 0; i < 5; ++i) {
            for (int j = 0; j < 5; ++j) {
                res[i][j] = (x[i][0] * y[0][j] + x[i][1] * y[1][j] + x[i][2] * y[2][j] + x[i][3] * y[3][j] + x[i][4] * y[4][j]) % MOD;
            }
        }
        return res;
    }
}

552. 学生出勤记录 II（递归公式 & 矩阵快速幂优化）

https://leetcode.cn/problems/student-attendance-record-ii/

提示：
1 <= n <= 10^5

解法1——动态规划

class Solution {
    final int MOD = (int)1e9 + 7;

    public int checkRecord(int n) {
        // 长度，A 的数量，结尾连续 L 的数量
        int[][][] dp = new int[n + 1][2][3];    
        dp[0][0][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            // 以P结尾
            for (int j = 0; j < 2; ++j) {
                for (int k = 0; k < 3; ++k) {
                    dp[i][j][0] = (dp[i][j][0] + dp[i - 1][j][k]) % MOD;
                }
            }
            // 以A结尾
            for (int k = 0; k < 3; ++k) {
                dp[i][1][0] = (dp[i][1][0] + dp[i - 1][0][k]) % MOD;
            }
            // 以L结尾
            for (int j = 0; j < 2; ++j) {
                for (int k = 1; k < 3; ++k) {
                    dp[i][j][k] = (dp[i][j][k] + dp[i - 1][j][k - 1]) % MOD;
                }
            }
        }

        int ans = 0;
        for (int j = 0; j < 2; ++j) {
            for (int k = 0; k < 3; ++k) {
                ans = (ans + dp[n][j][k]) % MOD;
            }
        }
        return ans;
    }
}

解法2——矩阵快速幂优化DP（TODO）

在这里插入代码片

790. 多米诺和托米诺平铺⭐（想出递推公式）

https://leetcode.cn/problems/domino-and-tromino-tiling/

提示：
1 <= n <= 1000

解法1——动态规划1 分最后一列的状态

https://leetcode.cn/problems/domino-and-tromino-tiling/solutions/1962465/duo-mi-nuo-he-tuo-mi-nuo-ping-pu-by-leet-7n0j/

class Solution {
    final int MOD = (int)1e9 + 7;

    public int numTilings(int n) {
        // 0空，1上，2下，3满
        int[][] dp = new int[n][4];
        dp[0][0] = dp[0][3] = 1;
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][3];
            dp[i][1] = (dp[i - 1][0] + dp[i - 1][2]) % MOD;
            dp[i][2] = (dp[i - 1][0] + dp[i - 1][1]) % MOD;
            dp[i][3] = (((dp[i - 1][0] + dp[i - 1][1]) % MOD + dp[i - 1][2]) % MOD + dp[i - 1][3]) % MOD;
        }
        return dp[n - 1][3];
    }
}

解法2——动态规划2 列出式子找通项公式（TODO 还没想明白）

https://leetcode.cn/problems/domino-and-tromino-tiling/solutions/1968516/by-endlesscheng-umpp/

class Solution {
    final long MOD = (long)1e9 + 7;

    public int numTilings(int n) {
        if (n <= 2) return n;
        long[] dp = new long[n + 1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; ++i) {
            dp[i] = (dp[i - 1] * 2 + dp[i - 3]) % MOD;
        }
        return (int)dp[n];
    }
}

解法3——矩阵快速幂优化DP

class Solution {
    final int MOD = (int)1e9 + 7;

    public int numTilings(int n) {
        // 0空，1上，2下，3满
        long[][] m = {
            {0, 0, 0, 1},
            {1, 0, 1, 0},
            {1, 1, 0, 0},
            {1, 1, 1, 1}
        };
        return (int)pow(m, n - 1)[3][0];
    }

    public long[][] pow(long[][] m, int k) {
        long[][] res = {
            {1, 0, 0, 0},
            {0, 0, 0, 0},
            {0, 0, 0, 0},
            {1, 0, 0, 0}
        };
        for (; k != 0; k >>= 1) {
            if ((k & 1) == 1) res = mul(m, res);
            m = mul(m, m);
        }
        return res;
    }

    public long[][] mul(long[][] a, long[][] b) {
        long[][] c = new long[4][4];
        for (int i = 0; i < 4; ++i) {
            for (int j = 0; j < 4; ++j) {
                c[i][j] = (a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j] + a[i][2] * b[2][j] + a[i][3] * b[3][j]) % MOD;
            }
        }
        return c;
    }
}
# 相关链接
[【力扣周赛】第 362 场周赛（⭐差分&匹配&状态压缩DP&矩阵快速幂优化DP&KMP）](https://blog.csdn.net/qq_43406895/article/details/132824604)