337. 打家劫舍 III

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【树形 DP】【二叉树】

本题考察的是【树形 DP】的内容，所谓的【树形 DP】指的是在树这种数据结构中使用动态规划方法来解决问题；本题还考察对二叉树递归遍历的知识。

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题目来源

337. 打家劫舍 III

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题目解读

可以行窃的区域是一个二叉树状的房屋，如果任意两个相邻的房子被打劫的话会触发警报。给定了二叉树的根节点，返回在不触发警报的情况下，可以打劫到的最大价值。

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解题思路

不同于 198. 打家劫舍 和 213. 打家劫舍 II 中房屋的价值以数组的形式出现，本题房屋的价值是以二叉树的形式出现。因此，解决本题可能需要往深度优先搜索（递归）和广度优先搜索（迭代）方向考虑。

方法一：动态规划

不触发警报要求不能打劫相邻的两个房屋，于是需要隔着一个房屋（节点）进行打劫。于是，我们从根节点出发进行考虑（状态）：

• 如果打劫当前的根节点 node，则 node 的左右子节点都不能被选中，故 node 被打劫时子树上被选中点的最大权值为 node->left 和 node->right 不被选中的最大权值相加；
• 不打劫当前的根节点 node，node 的左右子节点可以被选中，也可以不被选中。对于 node 的某个子节点 x，它对 node 的贡献值为 被选中和不被选中的较大值。

我们用 f(o) 表示选择节点 o 的情况下，o 节点的子数上被选择的节点的最大权值和； g(o) 表示选择节点 o 的情况下，o 节点的子数上被选择的节点的最大权值和；l 和 r 分别表示节点 o 的左右子节点。于是上面的分析（转态转移）可以简化为：

• 当 o 被选中时，f(o) = g(l) + g(r)；
• 当 o 不被选中时，g(o) = max{f(l), g(l)} + max{f(r), g(r)}；

如果当前节点 node 为空，无论选与不选，当前权值都为 0，即为动态规划的 base case。

在具体实现中，我们使用哈希表来保存 f 和 g，利用深度优先搜索来更新 f 和 g，最后返回 max{f(root), g(root)} 即为最终结果。

实现代码

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    unordered_map<TreeNode*, int> f, g;

    void dfs(TreeNode* node) {
        if (node == nullptr) return;

        dfs(node->left);
        dfs(node->right);
        f[node] = node->val + g[node->left] + g[node->right];
        g[node] = max(f[node->left], g[node->left]) + max(f[node->right], g[node->right]);
    }

    int rob(TreeNode* root) {
        dfs(root);
        return max(f[root], g[root]);
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：$O(n)$，$n$ 为二叉树中节点的数量。

空间复杂度：$O(n)$，使用的额外变量为存储节点权值的哈希表。

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写在最后

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