【数学建模算法】（3）线性规划综合实例：投资问题

问题提出

市场上有种资产可以选择，现用数额为的相当大的资金做一个时期的投资。这种资产在这一时期内购买的平均收益率为，风险损失率为，投资越分散，总的风险越少，总体风险可用投资的中最大的一个风险来度量。

购买时要付交易费，（费率），当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算。另外，假定同期银行存款利率是，既无交易费也无风险。()

假设的相关数据见下表。

	28	2.5	1	103
	21	1.5	2	198
	23	1.5	2	198
	25	2.6	6.5	40

试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小。

符号规定和基本假设

符号规定

第种投资项目，如股票，债券。
分别为的平均收益率，交易费率，风险损失率。
的交易定额。
同期银行利率
投资项目的资金
投资风险度
总体收益

基本假设

投资数额 相当大，为了便于计算，假设;
投资越分散，总的风险越小；
总体风险用投资项目中最大的一个风险来度量；
种资产之间是相互独立的；
在投资期间是定值，不受意外因素影响；
净收益和总体风险只受影响，不受其它因素干扰。

模型的分析与建立

1.总体风险用所投资的中最大的一个风险来衡量，即

2.购买所付交易费是一个分段函数，即:

题目所给定的定值（单位：元）相对总投资很少，更少，可以忽略不计，这样购买的净收益为
3.任务目标是使净收益尽可能大，总体风险尽可能小，所以这是一个多目标线性规划模型。

目标函数

约束条件

模型简化

模型一 固定风险水平，优化收益

给定一个界限，只要不超过这个界限的风险量都可以接受，也就是将风险的目标函数转换为限制条件，这样问题就变成了一个单目标的线性规划问题。

目标函数

限制条件

模型二 固定盈利水平，极小化风险

希望总盈利至少达到以上，在风险最小的情况下寻求相应的投资组合。

目标函数

限制条件

模型三 均衡盈利和风险

设立一个权重称为投资偏好系数。代表对于盈利和规避风险的偏好。

目标函数

限制条件

s.t.

求解

本文以模型一为例进行求解和分析，模型二和模型三读者可自行实践。

将表中数据代入模型一。

目标函数

限制条件

s.t.

由于a是任意给定的风险度，那么风险度定为多少比较适合呢？

我们可以将风险度与收益的关系拿出来分析。

clc,clear
a=0;
hold on
while a<0.05
c=[-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185];
A=[zeros(4,1),diag([0.025,0.015,0.055,0.026])];
b=a*ones(4,1);
Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065];
beq=1;
LB=zeros(5,1);
[x,Q]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB);
Q=-Q;
plot(a,Q,'*r');
a=a+0.001;
end
xlabel('a'),ylabel('Q')
***

画出Q和a的图像。

风险a与利润Q的关系

结论

1.从图中可以看出，风险越大，利润越大。
2.从模型结构中可以看出，当投资越分散时，承担的风险越小。冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则会尽量分散投资。
3.在处附近有一个拐点，在拐点左侧，利润随风险增加较快，拐点右侧则陡然变得平缓，在之后，随风险的增加，利润不变。针对那些对投资没有特殊偏好的投资者，可以选择第一个拐点作为最优投资组合。

对应的投资方案为：

风险度，收益，，，，，

以上，是一次相对简单的数学建模和解决问题的过程，下一部分我们将会讨论线性规划的进一步延伸——整数规划问题。