流体力学第五章

流体力学第五章

一、水波动力学的基本方程和边值条件

1. 水波动力学的基本方程
   理想水波运动属于不可压缩流体的无旋流动。
   速度势方程：
   积分：
   通常
2. 边值条件

• 固壁不可穿透条件

  
  
  image.png

• 静止固壁不可穿透条件

  
  
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• 水底壁面不可穿透条件
  
  image.png
  
  水面方程
• 水面运动学条件（光滑流体面保持性）
  
• 水面动力学条件（压强条件）
  
  忽略表面张力：
  
  image.png
  
  水面柯西拉格朗日积分：
  
  域内柯西拉格朗日积分：
  

二、小幅水波的线性近似解

1. 基本方程和边值条件线性化
   
   小振幅波
   
   小振幅波：
   
   
   量纲形式方程
2. 小幅水波线性近似解
   单色水波，其中为波数，为圆频率，为波速。
   速度势，代入拉普拉斯方程得：
   ，通解为
   边界条件为
   得到速度势振幅：

3. 无限水深小幅水波线性近似解
   令，得到：

三、线性水波流场的迹线和流线

1. 流线
   将和表达式代入流线方程，得到：
   

2. 迹线
   将和表达式代入迹线方程
   对于小振幅水波运动，流体质点在原静止平衡位置附近振荡，即，

3. 无限深水波流线和迹线
   流体质点近似运动轨迹：
   在深水波中，流体质点近似运动轨迹为圆，圆半径随水深逐渐减小。

四、线性水波的色散关系

色散性：波速与波数有关的性质。

• 当水深很浅时，。
• 当水深很浅时，。其中。

五、涟波的色散关系

当波长小到几个厘米时，表面张力的作用就开始重要起来，当远大于重力的作用时，形成毛细波 (表面张力波)；介乎毛细波和重力波之间的称为涟波。
考虑表面张力后，相当于重力加速度变为。

六、非线性水波的解