PT@事件间的运算规律
文章目录
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- abstract
- 事件间的运算规律
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- 基本事实
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- 全集(必然事件)&空集(不可能事件)相关运算
- 前提和相应真命题
- 恒等式
- 自反律
- 交换律
- 结合律
- 分配律
- 对偶律(德摩根律)
- 附加定理
- 消去律不成立
- 判定事件为空
- 例
- 例
- 例
- 小结
- 运算优先级
- 导出运算律
-
- 吸收律
- 差事件和积事件的转换公式
abstract
- 事件运算规律和例题
事件间的运算规律
- 运算定律的描述对象是运算符,某些运算定律的描述涉及多个(种)运算符
基本事实
全集(必然事件)&空集(不可能事件)相关运算
- ∅ = Ω ‾ \varnothing=\overline{\Omega} ∅=Ω
- Ω = ∅ ‾ \Omega=\overline{\varnothing} Ω=∅
- A Ω = A A\Omega=A AΩ=A
- ∅ ∩ A = ∅ \varnothing \cap A=\varnothing ∅∩A=∅
- ∅ ∪ A = A \varnothing \cup A=A ∅∪A=A
- A ∪ A ‾ A\cup{\overline{A}} A∪A= Ω \Omega Ω
- A ∩ A A\cap{A} A∩A= ∅ \emptyset ∅
前提和相应真命题
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若 A ⊂ B 若A\sub B 若A⊂B,则:
-
A ∪ B = B A\cup B=B A∪B=B
-
A B = A AB=A AB=A
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A ∪ ( B − A ) = B A\cup (B-A)=B A∪(B−A)=B
- A ∪ ( B − A ) A\cup{(B-A)} A∪(B−A)= ( A ∪ ( B A ‾ ) ) (A\cup{(B\overline{A})}) (A∪(BA))= ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ A ‾ ) (A\cup{B})\cap{(A\cup{\overline{A}})} (A∪B)∩(A∪A)= A ∪ B A\cup{B} A∪B
- 由
(1)得 A ∪ ( B − A ) = A ∪ B = B A\cup (B-A)=A\cup B=B A∪(B−A)=A∪B=B
-
恒等式
-
若 A ⊂ B A\sub{B} A⊂B,则 A B = A AB=A AB=A, A ∪ B = B A\cup{B}=B A∪B=B
-
A ⊂ ( A ∪ B ) A\subset (A\cup B) A⊂(A∪B)
- ∪ \cup ∪ 优先级比 ⊂ \sub ⊂ 高因此可以不加括号,即 B ⊂ A ∪ B B\sub A\cup B B⊂A∪B
-
$AB\sub A ; ; ;AB\sub{B}$
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A B ∪ B = B ; A ∪ ( A B ) = A AB\cup B=B;A\cup (AB)=A AB∪B=B;A∪(AB)=A
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A ( A ∪ B ) = A A(A\cup B)=A A(A∪B)=A
-
A ( B − A ) = ∅ A(B-A)=\varnothing A(B−A)=∅
自反律
- A ∩ A = A A\cap A=A A∩A=A
- A ∪ A = A A\cup A=A A∪A=A
交换律
Commutative Law
- A ∪ B A\cup{B} A∪B= B ∪ A B\cup{A} B∪A
- A ∩ B A\cap{B} A∩B= B ∩ A B\cap{A} B∩A
结合律
Associative Law
- A ∪ ( B ∪ C ) A\cup({B}\cup{C}) A∪(B∪C)= ( A ∪ B ) ∪ C (A\cup{B})\cup{C} (A∪B)∪C
- A ∩ ( B ∩ C ) A\cap({B}\cap{C}) A∩(B∩C)= ( A ∩ B ) ∩ C (A\cap{B})\cap{C} (A∩B)∩C
分配律
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A ∩ ( B ∪ C ) A\cap(B\cup{C}) A∩(B∪C)= A B ∪ A C AB\cup{AC} AB∪AC
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A ∪ ( B ∩ C ) A\cup(B\cap{C}) A∪(B∩C)= ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) (A\cup B)\cap{(A\cup C)} (A∪B)∩(A∪C)
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分配律衍生公式
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( A ∪ B ) ∩ ( C ∪ D ) (A\cup{B})\cap(C\cup{D}) (A∪B)∩(C∪D)= ( ( A ∪ B ) ∩ C ) ∪ ( ( A ∪ B ) ∩ D ) ((A\cup{B})\cap C)\cup((A\cup{B})\cap{D}) ((A∪B)∩C)∪((A∪B)∩D)= ( ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) ) ∪ ( A ∩ D ) ∪ ( B ∩ D ) ) ((A\cap C)\cup{(B\cap C)})\cup{(A\cap D)\cup{(B\cap D)}}) ((A∩C)∪(B∩C))∪(A∩D)∪(B∩D))= A C ∪ A D ∪ B C ∪ B D AC\cup{AD}\cup{BC}\cup{BD} AC∪AD∪BC∪BD
- 运用的是 ∩ \cap ∩对 ∪ \cup ∪的分配律: ( A ∪ B ) ∩ ( C ∪ D ) \boxed{(A\cup{B})\cap}(C\cup{D}) (A∪B)∩(C∪D);
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( A ∩ B ) ∪ ( C ∩ D ) (A\cap{B})\cup(C\cap{D}) (A∩B)∪(C∩D)= ( A ∪ C ) ∩ ( A ∪ D ) ∩ ( B ∪ C ) ∩ ( B ∪ D ) (A\cup{C})\cap{(A\cup{D})}\cap{(B\cup{C})}\cap(B\cup{D}) (A∪C)∩(A∪D)∩(B∪C)∩(B∪D)
- 运用的是 ∪ \cup ∪对 ∩ \cap ∩的分配律: ( A ∩ B ) ∪ ( C ∩ D ) \boxed{(A\cap{B})\cup}(C\cap{D}) (A∩B)∪(C∩D)
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分配和展开规则类似于代数运算求和式中的乘法对加法的分配律:
- ( A + B ) ( C + D ) = A C + A D + B C + B D (A+B)(C+D)=AC+AD+BC+BD (A+B)(C+D)=AC+AD+BC+BD
- ∪ , ∩ \cup,\cap ∪,∩可分别类比于 + , × +,\times +,×(或者对调: × , + \times,{+} ×,+)
对偶律(德摩根律)
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A ∪ B ‾ = A ‾ ∩ B ‾ \overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B} A∪B=A∩B
- A ∪ B A\cup B A∪B= A ∪ B ‾ ‾ \overline{\overline{A\cup{B}}} A∪B= A ‾ ∩ B ‾ ‾ \overline{\overline{A}\cap\overline{B}} A∩B
-
A ∩ B ‾ \overline{A\cap{B}} A∩B= A ‾ ∪ B ‾ \overline{A}\cup{\overline{B}} A∪B
- A ∩ B A\cap{B} A∩B= A ∩ B ‾ ‾ \overline{\overline{A\cap{B}}} A∩B= A ‾ ∪ B ‾ ‾ \overline{\overline{A}\cup{\overline{B}}} A∪B
-
demorgan Law 揭示了和事件于积事件之间的转换关系.以及对立事件之间的转换
- 这使得我们可以比较容易的在交事件和积事件(表达式)间变化形式(它们的对立事件也是)
-
⋂ i = 1 n A i ‾ \overline{\bigcap_{i=1}^{n}A_i} ⋂i=1nAi= ⋃ i = 1 n A i ‾ \bigcup_{i=1}^{n}\overline{A_{i}} ⋃i=1nAi
-
⋃ i = 1 n A i ‾ \overline{\bigcup_{i=1}^{n}A_i} ⋃i=1nAi= ⋂ i = 1 n A i ‾ \bigcap_{i=1}^{n}\overline{A_{i}} ⋂i=1nAi
附加定理
- 若 A = B A=B A=B,则 A C = B C AC=BC AC=BC; A ∪ C = B ∪ C A\cup{C}=B\cup{C} A∪C=B∪C
消去律不成立
- 附加定理但是其逆命题不成立,即 A C = B C AC=BC AC=BC ⇏ \not\Rightarrow ⇒ A = B A=B A=B; A ∪ C = B ∪ C A\cup{C}=B\cup{C} A∪C=B∪C ⇏ \not\Rightarrow ⇒ A = B A=B A=B
判定事件为空
- 若 A B = ∅ AB=\empty AB=∅ ⇏ \not\Rightarrow ⇒ A = ∅ A=\emptyset A=∅或 B = ∅ B=\emptyset B=∅;这只能说明 A , B A,B A,B没有公共元素而已
例
- ( A ∪ B ) ( A ‾ ∪ B ) ( A ∪ B ‾ ) ( A ‾ ∪ B ‾ ) (A\cup{B})(\overline{A}\cup{B})(A\cup\overline{B})(\overline{A}\cup{\overline{B}}) (A∪B)(A∪B)(A∪B)(A∪B)
- 方法1
- ( A ∪ B ) ( A ‾ ∪ B ) (A\cup{B})(\overline{A}\cup{B}) (A∪B)(A∪B)= ( A A ‾ ) ∪ B (A\overline{A})\cup{B} (AA)∪B= B B B
- ( A ∪ B ‾ ) ( A ‾ ∪ B ‾ ) (A\cup{\overline{B}})(\overline{A}\cup{\overline{B}}) (A∪B)(A∪B)= ( A A ‾ ) ∪ B ‾ (A\overline{A})\cup{\overline{B}} (AA)∪B= B ‾ \overline{B} B
- B B ‾ = ∅ B\overline{B}=\emptyset BB=∅
- 方法2
- = ( A A ‾ ∪ A B ∪ B A ‾ ∪ B B ) (A\overline{A}\cup{AB}\cup{B\overline{A}}\cup{BB}) (AA∪AB∪BA∪BB) ( A A ‾ ∪ A B ‾ ∪ B ‾ A ‾ ∪ B ‾ B ‾ ) (A\overline{A}\cup{A}\overline{B}\cup{\overline{B}\;\overline{A}}\cup{\overline{B}\;\overline{B}}) (AA∪AB∪BA∪BB)
- = ( ( A ∪ A ‾ ) B ∪ B ) ( ( A ∪ A ‾ ) B ‾ ∪ B ‾ ) ((A\cup{\overline{A}})B\cup{B})((A\cup{\overline A})\overline{B}\cup{\overline{B}}) ((A∪A)B∪B)((A∪A)B∪B)
- = B B ‾ B\overline{B} BB= ∅ \emptyset ∅
例
- 设 A B = A ‾ B ‾ AB=\overline{A}\;\overline{B} AB=AB
(1),则 A ∪ B = Ω A\cup{B}=\Omega A∪B=Ω - 对
(1)两边同时和 B B B取交,则 ( A B ) B (AB)B (AB)B= A ‾ B ‾ B \overline{A}\;\overline{B}B ABB;从而 ( A B ) B = A ( B B ) = A B = ∅ (AB)B=A(BB)=AB=\emptyset (AB)B=A(BB)=AB=∅,(2) - 对
(1)两边取逆运算: A B ‾ \overline{AB} AB= A ∪ B A\cup{B} A∪B(3) - 将
(2)代入(3)得: A ∪ B = Ω A\cup{B}=\Omega A∪B=Ω即样本空间全集,或说是必然事件
例
-
设 A ∪ C A\cup{C} A∪C= B ∪ C B\cup{C} B∪C
(1);且 C − A = C − B C-A=C-B C−A=C−B(2),则 A B ‾ ∪ A ‾ B A\overline{B}\cup{\overline{A}B} AB∪AB= ∅ \emptyset ∅(3) -
显然我们需要将 C C C事件运用所给条件消去
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有两种手法:
-
方法1:
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由
(1)得 A ‾ C ‾ \overline{A}\;\overline{C} AC= B ‾ C ‾ \overline{B}\;\overline{C} BC(1.1) -
由
(2)得 C A ‾ C\overline{A} CA= C B ‾ C\overline{B} CB(2.1) -
(1.1)∪ \cup ∪(2.1): A ‾ ∪ ( C ‾ C ) \overline{A}\cup(\overline{C}{C}) A∪(CC)= B ‾ ∪ ( C ‾ C ) \overline{B}\cup(\overline{C}C) B∪(CC) -
即 A ‾ = B ‾ \overline{A}=\overline{B} A=B,从而 A = B A=B A=B
-
A B ‾ ∪ A ‾ B A\overline{B}\cup{\overline{A}B} AB∪AB= A A ‾ ∪ A ‾ A A\overline{A}\cup{\overline{A}A} AA∪AA= ∅ \emptyset ∅,即
(3)成立
-
-
(1)-(2)- ( A ∪ C ) − ( C − A ) (A\cup{C})-{(C-A)} (A∪C)−(C−A)= ( B ∪ C ) − ( C − B ) (B\cup{C})-(C-B) (B∪C)−(C−B)
- ( A ∪ C ) − C A ‾ (A\cup{C})-C\overline{A} (A∪C)−CA= ( A ∪ C ) ( C ‾ ∪ A ) (A\cup{C})(\overline{C}\cup{A}) (A∪C)(C∪A)= A ∪ ( C C ‾ ) A\cup(C\overline{C}) A∪(CC)= A A A
- ( B ∪ C ) − C B ‾ (B\cup{C})-C\overline{B} (B∪C)−CB= ( B ∪ C ) ( C ‾ ∪ B ) (B\cup{C})(\overline{C}\cup{B}) (B∪C)(C∪B)= B ∪ ( C C ‾ ) B\cup(C\overline{C}) B∪(CC)= B B B
- 可见 A = B A=B A=B,从而 A B ‾ A\overline{B} AB= A A ‾ A\overline{A} AA= ∅ \emptyset ∅; A ‾ B \overline{A}{B} AB= B ‾ B \overline{B}B BB= ∅ \emptyset ∅
- 从而
(3)成立
- ( A ∪ C ) − ( C − A ) (A\cup{C})-{(C-A)} (A∪C)−(C−A)= ( B ∪ C ) − ( C − B ) (B\cup{C})-(C-B) (B∪C)−(C−B)
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小结
- 交运算和并运算都满足交换律和结合律
- 注意,仅仅在非混合运算的时候成立,否则请考虑分配律!(或者从左往右运算)
- 例如 A ∪ B = A ∪ ( A − B ) = A ∪ ( A B ‾ ) = 分配律 ( A ∪ A ) ∩ ( A ∪ B ‾ ) = A ( A ∪ B ‾ ) A\cup B=A\cup( A-B)=A\cup (A\overline{B})\xlongequal{分配律}(A\cup A)\cap (A\cup \overline{B})=A(A\cup \overline{B}) A∪B=A∪(A−B)=A∪(AB)分配律(A∪A)∩(A∪B)=A(A∪B)
运算优先级
-
在事件的和积混合运算中, ∪ , ∩ \cup,\cap ∪,∩的优先级类似于代数运算中的 + , × +,\times +,×运算, ∩ \cap ∩具有更高的优先级
-
并且从左到右,遵循内优先的运算
-
差运算的优先级一般比较低
-
例如 A ∪ A B A\cup{A}B A∪AB= A ∪ ( A ∩ B ) A\cup({A}\cap{B}) A∪(A∩B)= A B AB AB;
- A − A B = A − ( A B ) A-AB=A-(AB) A−AB=A−(AB)
导出运算律
吸收律
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A ( A ∪ B ) = A A(A\cup B)=A A(A∪B)=A
-
A ∪ ( A B ) = A A\cup(AB)=A A∪(AB)=A
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Note:
- 该定理的证可以从集合和事件的定义出发
- A ∪ B A\cup B A∪B并事件试图扩充A,B事件所包含的样本点, A ⊂ ( A ∪ B ) A\sub{(A\cup{B})} A⊂(A∪B)
- A ∩ B A\cap B A∩B交事件试图将A,B包含的样本点收缩, ( A B ) ⊂ A {(A{B})\sub{A}} (AB)⊂A
差事件和积事件的转换公式
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A − B = A − A B = A B ‾ A-B=A-AB=A\overline{B} A−B=A−AB=AB
- A − B = A − A B A-B=A-AB A−B=A−AB由于A的独占事件,B肯定不发生(也就是说,A的独占事件的发生,必定导致B的对立 B ‾ \overline{B} B发生)
- 从积事件的角度上看,只有A和 B ‾ \overline{B} B同时发生这样的事件是A的独占事件
-
A ( B − A ) = ∅ A (B-A)=\varnothing A(B−A)=∅
- A ( B A ‾ ) A(B\overline{A}) A(BA)= ( A A ‾ ) B = ∅ (A\overline{A})B=\emptyset (AA)B=∅
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A ∪ B = A ∪ ( B − A ) A\cup B=A\cup (B-A) A∪B=A∪(B−A)
- 从事件的定义可知等式显然成立
- 或者 A ∪ ( B − A ) = A ∪ B A ‾ A\cup{(B-A)}=A\cup{B\overline{A}} A∪(B−A)=A∪BA= ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ A ‾ ) (A\cup{B})\cap(A\cup{\overline{A}}) (A∪B)∩(A∪A)= A ∪ B A\cup{B} A∪B