二叉树(相关术语、创建、遍历、最大深度问题)梳理总结
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文章目录
- 一、二叉树
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- 1.1 树的基本定义
- 1.2 树的相关术语
- 1.3 二叉树的基本定义
- 1.4 二叉查找树的创建
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- 1.4.1 实现思路
- 1.4.2 代码实现
- 1.4.3 测试
- 1.5 二叉树的基础遍历
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- 1.5.1 前序遍历
- 1.5.2 中序遍历
- 1.5.1 后序遍历
- 1.6 二叉树的层序遍历
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- 1.6.1 实现步骤
- 1.6.2 代码实现及测试
- 1.7 二叉树的最大深度问题
-
- 1.7.1 实现步骤
- 1.7.2 代码实现及测试
一、二叉树
1.1 树的基本定义
树是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
树具有以下特点：
1. 每个结点有零个或多个子结点；
2. 没有父结点的结点为根结点；
3. 每一个非根结点只有一个父结点；
4. 每个结点及其后代结点整体上可以看做是一棵树，称为当前结点的父结点的一个子树；
1.2 树的相关术语
结点的度： 一个结点含有的子树的个数称为该结点的度；
叶结点： 度为0的结点称为叶结点，也可以叫做终端结点
分支结点： 度不为0的结点称为分支结点，也可以叫做非终端结点
结点的层次： 从根结点开始，根结点的层次为1，根的直接后继层次为2，以此类推
结点的层序编号： 将树中的结点，按照从上层到下层，同层从左到右的次序排成一个线性序列，把他们编成连续的自然数。
树的度： 树中所有结点的度的最大值
树的高度(深度)： 树中结点的最大层次
森林： m（m>=0）个互不相交的树的集合，将一颗非空树的根结点删去，树就变成一个森林；给森林增加一个统一的根结点，森林就变成一棵树
孩子结点： 一个结点的直接后继结点称为该结点的孩子结点
双亲结点(父结点)： 一个结点的直接前驱称为该结点的双亲结点
兄弟结点： 同一双亲结点的孩子结点间互称兄弟结点
1.3 二叉树的基本定义
二叉树就是度不超过2的树(每个结点最多有两个子结点)
满二叉树：
一个二叉树，如果每一个层的结点树都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。
完全二叉树：
叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树
1.4 二叉查找树的创建
1.4.1 实现思路
插入方法put实现思想：
-
如果当前树中没有任何一个结点，则直接把新结点当做根结点使用
-
如果当前树不为空，则从根结点开始：
2.1 如果新结点的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；
2.2 如果新结点的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；
2.3 如果新结点的key等于当前结点的key，则树中已经存在这样的结点，替换该结点的value值即可。
查询方法get实现思想：
从根节点开始：
- 如果要查询的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；
- 如果要查询的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；
- 如果要查询的key等于当前结点的key，则树中返回当前结点的value。
删除方法delete实现思想：
- 找到被删除结点；
- 找到被删除结点右子树中的最小结点minNode
- 删除右子树中的最小结点
- 让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树，让被删除结点的右子树称为最小结点minNode的右子树
- 让被删除结点的父节点指向最小结点minNode
查找二叉树中最小的键 : 找出指定树x中，最小键所在的结点
查找二叉树中最大的键 : 找出指定树x中，最大键所在的结点
1.4.2 代码实现
public class BinaryTree<Key extends Comparable<Key>, Value> {
//记录根结点
private Node root;
//记录树中元素的个数
private int N;
private class Node {
//存储键
public Key key;
//存储值
private Value value;
//记录左子结点
public Node left;
//记录右子结点
public Node right;
public Node(Key key, Value value, Node left, Node right) {
this.key = key;
this.value = value;
this.left = left;
this.right = right;
}
}
//获取树中元素的个数
public int size() {
return N;
}
//向树中添加元素key-value
public void put(Key key, Value value) {
root = put(root, key, value);
}
//向指定的树x中添加key-value,并返回添加元素后新的树
private Node put(Node x, Key key, Value value) {
//如果x子树为空，
if (x == null) {
N++;
return new Node(key, value, null, null);
}
//如果x子树不为空
//比较x结点的键和key的大小：
int cmp = key.compareTo(x.key);
if (cmp > 0) {
//如果key大于x结点的键，则继续找x结点的右子树
x.right = put(x.right, key, value);
} else if (cmp < 0) {
//如果key小于x结点的键，则继续找x结点的左子树
x.left = put(x.left, key, value);
} else {
//如果key等于x结点的键，则替换x结点的值为value即可
x.value = value;
}
return x;
}
//查询树中指定key对应的value
public Value get(Key key) {
return get(root, key);
}
//从指定的树x中，查找key对应的值
public Value get(Node x, Key key) {
//x树为null
if (x == null) {
return null;
}
//x树不为null
//比较key和x结点的键的大小
int cmp = key.compareTo(x.key);
if (cmp > 0) {
//如果key大于x结点的键，则继续找x结点的右子树
return get(x.right, key);
} else if (cmp < 0) {
//如果key小于x结点的键，则继续找x结点的左子树
return get(x.left, key);
} else {
//如果key等于x结点的键，就找到了键为key的结点，只需要返回x结点的值即可
return x.value;
}
}
//删除树中key对应的value
public void delete(Key key) {
delete(root, key);
}
//删除指定树x中的key对应的value，并返回删除后的新树
public Node delete(Node x, Key key) {
//x树为null
if (x == null) {
return null;
}
//x树不为null
int cmp = key.compareTo(x.key);
if (cmp > 0) {
//如果key大于x结点的键，则继续找x结点的右子树
x.right = delete(x.right, key);
} else if (cmp < 0) {
//如果key小于x结点的键，则继续找x结点的左子树
x.left = delete(x.left, key);
} else {
//如果key等于x结点的键，完成真正的删除结点动作，要删除的结点就是x；
//让元素个数-1
N--;
//得找到右子树中最小的结点
if (x.right == null) {
return x.left;
}
if (x.left == null) {
return x.right;
}
Node minNode = x.right;
while (minNode.left != null) {
minNode = minNode.left;
}
//删除右子树中最小的结点
Node n = x.right;
while (n.left != null) {
if (n.left.left == null) {
n.left = null;
} else {
//变换n结点即可
n = n.left;
}
}
//让x结点的左子树成为minNode的左子树
minNode.left = x.left;
//让x结点的右子树成为minNode的右子树
minNode.right = x.right;
//让x结点的父结点指向minNode
x = minNode;
}
return x;
}
//查找整个树中最小的键
public Key min() {
return min(root).key;
}
//在指定树x中找出最小键所在的结点
private Node min(Node x) {
//需要判断x还有没有左子结点，如果有，则继续向左找，如果没有，则x就是最小键所在的结点
if (x.left != null) {
return min(x.left);
} else {
return x;
}
}
//在整个树中找到最大的键
public Key max() {
return max(root).key;
}
//在指定的树x中，找到最大的键所在的结点
public Node max(Node x) {
//判断x还有没有右子结点，如果有，则继续向右查找，如果没有，则x就是最大键所在的结点
if (x.right != null) {
return max(x.right);
} else {
return x;
}
}
//获取整个树中所有的键
public Queue<Key> preErgodic() {
Queue<Key> keys = new Queue<>();
preErgodic(root, keys);
return keys;
}
//获取指定树x的所有键，并放到keys队列中
private void preErgodic(Node x, Queue<Key> keys) {
if (x == null) {
return;
}
//把x结点的key放入到keys中
keys.enqueue(x.key);
//递归遍历x结点的左子树
if (x.left != null) {
preErgodic(x.left, keys);
}
//递归遍历x结点的右子树
if (x.right != null) {
preErgodic(x.right, keys);
}
}
//使用中序遍历获取树中所有的键
public Queue<Key> midErgodic() {
Queue<Key> keys = new Queue<>();
midErgodic(root, keys);
return keys;
}
//使用中序遍历，获取指定树x中所有的键，并存放到key中
private void midErgodic(Node x, Queue<Key> keys) {
if (x == null) {
return;
}
//先递归，把左子树中的键放到keys中
if (x.left != null) {
midErgodic(x.left, keys);
}
//把当前结点x的键放到keys中
keys.enqueue(x.key);
//在递归，把右子树中的键放到keys中
if (x.right != null) {
midErgodic(x.right, keys);
}
}
//使用后序遍历，把整个树中所有的键返回
public Queue<Key> afterErgodic() {
Queue<Key> keys = new Queue<>();
afterErgodic(root, keys);
return keys;
}
//使用后序遍历，把指定树x中所有的键放入到keys中
private void afterErgodic(Node x, Queue<Key> keys) {
if (x == null) {
return;
}
//通过递归把左子树中所有的键放入到keys中
if (x.left != null) {
afterErgodic(x.left, keys);
}
//通过递归把右子树中所有的键放入到keys中
if (x.right != null) {
afterErgodic(x.right, keys);
}
//把x结点的键放入到keys中
keys.enqueue(x.key);
}
//使用层序遍历，获取整个树中所有的键
public Queue<Key> layerErgodic() {
//定义两个队列，分别存储树中的键和树中的结点
Queue<Key> keys = new Queue<>();
Queue<Node> nodes = new Queue<>();
//默认，往队列中放入根结点
nodes.enqueue(root);
while (!nodes.isEmpty()) {
//从队列中弹出一个结点，把key放入到keys中
Node n = nodes.dequeue();
keys.enqueue(n.key);
//判断当前结点还有没有左子结点，如果有，则放入到nodes中
if (n.left != null) {
nodes.enqueue(n.left);
}
//判断当前结点还有没有右子结点，如果有，则放入到nodes中
if (n.right != null) {
nodes.enqueue(n.right);
}
}
return keys;
}
//获取整个树的最大深度
public int maxDepth() {
return maxDepth(root);
}
//获取指定树x的最大深度
private int maxDepth(Node x) {
if (x == null) {
return 0;
}
//x的最大深度
int max = 0;
//左子树的最大深度
int maxL = 0;
//右子树的最大深度
int maxR = 0;
//计算x结点左子树的最大深度
if (x.left != null) {
maxL = maxDepth(x.left);
}
//计算x结点右子树的最大深度
if (x.right != null) {
maxR = maxDepth(x.right);
}
//比较左子树最大深度和右子树最大深度，取较大值+1即可
max = maxL > maxR ? maxL + 1 : maxR + 1;
return max;
}
}
1.4.3 测试
public class BinaryTreeTest {
public static void main(String[] args) {
//创建二叉查找树对象
BinaryTree<Integer, String> tree = new BinaryTree<>();
//测试插入
tree.put(1, "张三");
tree.put(2, "李四");
tree.put(3, "王五");
System.out.println("插入完毕后元素的个数：" + tree.size());
//测试获取
System.out.println("键2对应的元素是：" + tree.get(2));
//测试删除
tree.delete(3);
System.out.println("删除后的元素个数：" + tree.size());
System.out.println("删除后键3对应的元素:" + tree.get(3));
}
}
1.5 二叉树的基础遍历
我们可以把二叉树的遍历分为以下三种方式：
前序遍历；先访问根结点，然后再访问左子树，最后访问右子树中序遍历；先访问左子树，中间访问根节点，最后访问右子树后序遍历；先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点
下面我们对各种遍历进行测试,测试添加顺序如图所示
1.5.1 前序遍历
代码已在这里实现
测试
public class BinaryTreeErgodicTest {
//测试前序遍历
public static void main(String[] args) {
//创建树对象
BinaryTree<String, String> tree = new BinaryTree<>();
//往树中添加数据
tree.put("E", "5");
tree.put("B", "2");
tree.put("G", "7");
tree.put("A", "1");
tree.put("D", "4");
tree.put("F", "6");
tree.put("H", "8");
tree.put("C", "3");
//遍历
Queue<String> keys = tree.preErgodic();
for (String key : keys) {
String value = tree.get(key);
System.out.println(key+"----"+value);
}
}
}
发现结果顺序与图中结果一致,成功
1.5.2 中序遍历
代码已在这里实现
测试
public class BinaryTreeErgodicTest {
//测试中序遍历
public static void main(String[] args) {
//创建树对象
BinaryTree<String, String> tree = new BinaryTree<>();
//往树中添加数据
tree.put("E", "5");
tree.put("B", "2");
tree.put("G", "7");
tree.put("A", "1");
tree.put("D", "4");
tree.put("F", "6");
tree.put("H", "8");
tree.put("C", "3");
//遍历
Queue<String> keys = tree.midErgodic();
for (String key : keys) {
String value = tree.get(key);
System.out.println(key+"----"+value);
}
}
}
发现结果顺序与图中结果一致,成功
1.5.1 后序遍历
代码已在这里实现
测试
public class BinaryTreeErgodicTest {
//测试后序遍历
public static void main(String[] args) {
//创建树对象
BinaryTree<String, String> tree = new BinaryTree<>();
//往树中添加数据
tree.put("E", "5");
tree.put("B", "2");
tree.put("G", "7");
tree.put("A", "1");
tree.put("D", "4");
tree.put("F", "6");
tree.put("H", "8");
tree.put("C", "3");
//遍历
Queue<String> keys = tree.afterErgodic();
for (String key : keys) {
String value = tree.get(key);
System.out.println(key+"----"+value);
}
}
}
发现结果顺序与图中结果一致,成功
1.6 二叉树的层序遍历
所谓的层序遍历，就是从根节点（第一层）开始，依次向下，获取每一层所有结点的值，有二叉树如下：
那么层序遍历的结果是：EBGADFHC
1.6.1 实现步骤
- 创建队列，存储每一层的结点；
- 使用循环从队列中弹出一个结点：
- 获取当前结点的key；
- 如果当前结点的左子结点不为空，则把左子结点放入到队列中
- 如果当前结点的右子结点不为空，则把右子结点放入到队列中
1.6.2 代码实现及测试
代码已在这里实现
public class BinaryTreeErgodicTest {
//测试层序遍历
public static void main(String[] args) {
//创建树对象
BinaryTree<String, String> tree = new BinaryTree<>();
//往树中添加数据
tree.put("E", "5");
tree.put("B", "2");
tree.put("G", "7");
tree.put("A", "1");
tree.put("D", "4");
tree.put("F", "6");
tree.put("H", "8");
tree.put("C", "3");
//遍历
Queue<String> keys = tree.layerErgodic();
for (String key : keys) {
String value = tree.get(key);
System.out.println(key+"----"+value);
}
}
}
1.7 二叉树的最大深度问题
1.7.1 实现步骤
-
如果根结点为空，则最大深度为0；
-
计算左子树的最大深度；
-
计算右子树的最大深度；
-
当前树的最大深度=左子树的最大深度和右子树的最大深度中的较大者+1
1.7.2 代码实现及测试
代码已在这里实现
public class BinaryTreeMaxDepthTest {
public static void main(String[] args) {
//创建树对象
BinaryTree<String, String> tree = new BinaryTree<>();
//往树中添加数据
tree.put("E", "5");
tree.put("B", "2");
tree.put("G", "7");
tree.put("A", "1");
tree.put("D", "4");
tree.put("F", "6");
tree.put("H", "8");
tree.put("C", "3");
int maxDepth = tree.maxDepth();
System.out.println(maxDepth);
}
}
